La série harmonique par sommation d'équivalents

On part de l'équivalent $\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)\sim \frac{1}{k}$ (développement limité, première année), où la référence $\frac{1}{k}$ est positive de série divergente. La série $\sum \ln \left(1+\frac{1}{k}\right)$ télescope : $$\sum _{k=1}^n\ln \frac{k+1}{k}=\ln (n+1).$$ Par sommation des équivalents (cas divergent), les sommes partielles sont équivalentes : $$H_n\sim \ln (n+1)\sim \ln n.$$ (Deux preuves valent mieux qu'une : la série-intégrale mesure, la sommation d'équivalents compare — ici à une série télescopique exactement calculable.)