Nature de : Σ (2ⁿ)/(n!), Σ n¹⁰/(3ⁿ), Σ (n!)/(nⁿ) (pour la dernière…

Séries Numériques · niveau 1 (application)

Énoncé

Nature de : $\sum \frac{2 ^{n}}{n !}$ , $\sum \frac{n ^{10}}{3 ^{n}}$ , $\sum \frac{n !}{n ^{n}}$ (pour la dernière : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = (\frac{n}{n + 1})^{n} \to \frac{1}{e} < 1$ — d'Alembert conclut là où la première année majorait à la main).

Corrigé

Les trois séries sont à termes strictement positifs : la règle de d'Alembert s'applique.

1) $u_{n} = \frac{2 ^{n}}{n !}$ : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2}{n + 1} \to 0 < 1$ , donc la série converge (sa somme vaut $e^{2}$ , série exponentielle).

2) $u_{n} = \frac{n ^{10}}{3 ^{n}}$ : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{1}{3} (1 + \frac{1}{n})^{10} \to \frac{1}{3} < 1$ , donc la série converge. On peut aussi comparer : $n^{10} / 3^{n} = o (1/ n^{2})$ par croissances comparées.

3) $u_{n} = \frac{n !}{n ^{n}}$ : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( n + 1 )!}{( n + 1 ) ^{n + 1}} \cdot \frac{n ^{n}}{n !} = \frac{( n + 1 ) n ^{n}}{( n + 1 ) ^{n + 1}} = (\frac{n}{n + 1})^{n} = exp (- n ln (1 + \frac{1}{n})) .$ Comme $n ln (1 + \frac{1}{n}) \to 1$ , ce quotient tend vers $\frac{1}{e} < 1$ : la série converge.

Les trois séries convergent. Dans les trois cas, le terme général contient une factorielle ou une puissance $n$ -ième : c'est la situation typique où d'Alembert conclut, parce que le quotient $u_{n + 1} / u_{n}$ se simplifie.

Nature de : Σ (2ⁿ)/(n!), Σ n¹⁰/(3ⁿ), Σ (n!)/(nⁿ) (pour la dernière…

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