Nature, selon a > 0, de Σ (aⁿ)/n² et de Σ (aⁿ n!)/((2n)!).

Les deux séries sont à termes strictement positifs pour $a>0$.

1) $\sum \frac{a^n}{n^2}$. $\frac{u_{n+1}}{u_n}=a{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^2\to a$. D'Alembert donne :

• si $a<1$, convergence ;
• si $a>1$, divergence (et même grossière : $a^n/n^2\to +\infty$ par croissances comparées) ;
• si $a=1$, d'Alembert ne conclut pas, mais la série est $\sum \frac{1}{n^2}$, série de Riemann convergente.

Conclusion : la série converge si et seulement si $a\le 1$.

2) $\sum \frac{a^{n}n!}{(2n)!}$. $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=a\cdot \frac{(n+1)!}{n!}\cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}=\frac{a(n+1)}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{a}{2(2n+1)}\to 0<1.$$ La série converge pour tout $a>0$.

Le contraste est instructif : dans le premier cas le quotient tend vers $a$ et le seuil $a=1$ est un cas limite à traiter à part, tandis que dans le second la factorielle $(2n)!$ écrase toute puissance $a^n$.