Une série de matrices

Pour la norme euclidienne, $\Vert Ax{\Vert }_2\le \frac{1}{2}\Vert x{\Vert }_2$ (donc $\Vert A^{n}x{\Vert }_2\le 2^{-n}\Vert x{\Vert }_2$ en itérant) : la série est absolument convergente, donc convergente (dimension finie), de somme $(I-A{)}^{-1}$ (série de Neumann) : $$\sum _{n=0}^{+\infty }{A}^n={\left(\begin{array}{cc}1& -1/2\\ -1/2& 1\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{3/4}\left(\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 1/2& 1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right).$$ (Contrôle par diagonalisation : valeurs propres $\pm \frac{1}{2}$ de $A$, donc $\frac{1}{1\mp 1/2}=2$ et $\frac{2}{3}$ pour la somme — moyennes $\frac{2+2/3}{2}=\frac{4}{3}$ et demi-différence $\frac{2}{3}$ : cohérent. ✓)