2 et π/4 par le théorème d'Abel radial

Stratégie : les deux développements ont un rayon égal à $1$ ; en $x=1$ la série numérique converge encore, mais le théorème de continuité de la somme ne vaut que sur l'intervalle ouvert de convergence et ne dit rien au bord. Le théorème d'Abel radial comble exactement ce trou. On l'emploie — puis on montre qu'ici on peut s'en passer, ce qui éclaire ce qu'il affirme.

1. Les deux développements (cours). Pour $|x|<1$ : $$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n,\mathrm{Arctan}x=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1},$$ tous deux de rayon $R=1$ (les coefficients $\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{2n+1}$ donnent un rapport de d'Alembert de limite $1$).

2. Les séries numériques convergent en $x=1$. Les suites ${\left(\frac{1}{n}\right)}_{n\ge 1}$ et ${\left(\frac{1}{2n+1}\right)}_{n\ge 0}$ sont positives, décroissantes, de limite nulle : le théorème spécial des séries alternées s'applique, donc $$\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\text{et}\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}\text{convergent.}$$ Attention : elles ne convergent pas absolument ($\sum \frac{1}{n}$ et $\sum \frac{1}{2n+1}$ divergent). On est donc exactement dans la situation où le rayon vaut $1$ et où le bord est un point de convergence « fragile ».

3. Le théorème d'Abel radial. Soit $\sum a_n{x}^n$ de rayon $R\ge 1$ et $S$ sa somme sur $]-1,1[$. Si la série numérique $\sum a_n$ converge, alors $S(x)\underset{x\to 1^{-}}{\to }{\sum }_{n\ge 0}{a}_n$. Sa démonstration n'est pas exigible ; on l'admet et on l'applique. Ses hypothèses sont vérifiées ici (rayon $1$, convergence en $1$ établie à l'étape 2), donc : $$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\ln (1+x)=\boxed{\ln 2},$$ $$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{Arctan}x=\boxed{\frac{\pi }{4}}$$ (les fonctions $\ln (1+\cdot )$ et $\mathrm{Arctan}$ étant continues en $1$, leurs limites à gauche sont leurs valeurs).

4. Le point délicat, et la route élémentaire. Sans Abel, on n'a aucun droit d'évaluer la somme en $1$ : le théorème du cours donne la continuité de $S$ sur $]-R,R[$ seulement, et l'étude de la somme au bord de l'intervalle de convergence n'est pas un objectif du programme. Il vaut donc la peine de savoir obtenir ces deux valeurs sans le théorème — en n'utilisant qu'une somme géométrique finie et une intégration.

Pour tout $t\ge 0$ et tout $N\ge 1$, la somme géométrique finie de raison $-t$ donne l'identité exacte $$\frac{1}{1+t}=\sum _{k=0}^{N-1}(-t{)}^k+\frac{(-t{)}^N}{1+t}.$$ On intègre sur $[0,1]$ (toutes les fonctions sont continues) : $$\ln 2=\sum _{k=0}^{N-1}\frac{(-1{)}^k}{k+1}+(-1{)}^N{\int }_0^1\frac{t^N}{1+t}\mathrm{d}t,0\le {\int }_0^1\frac{t^N}{1+t}\mathrm{d}t\le {\int }_0^1{t}^N\mathrm{d}t=\frac{1}{N+1}.$$ Le reste tend vers $0$ : la somme de la série vaut $\ln 2$. En remplaçant $t$ par $t^2$ dans l'identité de départ, puis en intégrant de même : $$\frac{\pi }{4}=\sum _{k=0}^{N-1}\frac{(-1{)}^k}{2k+1}+(-1{)}^N{\int }_0^1\frac{t^{2N}}{1+t^2}\mathrm{d}t,0\le {\int }_0^1\frac{t^{2N}}{1+t^2}\mathrm{d}t\le \frac{1}{2N+1}.$$ On retrouve les deux valeurs, avec en prime une majoration explicite de l'erreur — la même que celle du théorème spécial des séries alternées, ce qui n'est pas un hasard : le reste intégral est la queue de la série.

Contrôle chiffré — et un avertissement sur la vitesse.

Pour $\ln 2=0,693147181$ :

$N$ termes	$S_N$	écart	borne $\frac{1}{N+1}$
$5$	$0,783333333$	$9,0\cdot 10^{-2}$	$1,7\cdot 10^{-1}$
$10$	$0,645634921$	$4,8\cdot 10^{-2}$	$9,1\cdot 10^{-2}$
$100$	$0,688172179$	$5,0\cdot 10^{-3}$	$9,9\cdot 10^{-3}$
$1000$	$0,692647431$	$5,0\cdot 10^{-4}$	$1,0\cdot 10^{-3}$

Pour $\frac{\pi }{4}=0,785398163$ :

$N$ termes	$T_N$	écart	borne $\frac{1}{2N+1}$
$5$	$0,834920635$	$5,0\cdot 10^{-2}$	$9,1\cdot 10^{-2}$
$10$	$0,760459905$	$2,5\cdot 10^{-2}$	$4,8\cdot 10^{-2}$
$100$	$0,782898226$	$2,5\cdot 10^{-3}$	$5,0\cdot 10^{-3}$
$1000$	$0,785148163$	$2,5\cdot 10^{-4}$	$5,0\cdot 10^{-4}$

Mille termes ne donnent que trois décimales — et l'écart mesuré vaut à chaque fois très exactement la moitié de la borne, ce qui est la signature d'un reste alterné. La convergence est en $\frac{1}{N}$, la plus lente qui soit. Ces deux formules sont mathématiquement mémorables et numériquement inutilisables : ce ne sont pas des algorithmes de calcul de $\ln 2$ ni de $\pi$.

Acquis. Le rayon dit ce qui se passe strictement à l'intérieur du disque, jamais au bord. En $|x|=R$, tout est possible — divergence, convergence simple, convergence absolue — et il faut à chaque fois un argument séparé. Abel radial est l'énoncé qui relie ce qui se passe au bord à la limite radiale de la somme, quand la série numérique converge.