Calculer les rayons de

Rappel : si $a_n\ne 0$ et $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to \ell \in [0,+\infty ]$, le rayon de $\sum a_n{z}^n$ vaut $R=\frac{1}{\ell }$ (règle de d'Alembert). À défaut, on revient à la définition : $R$ est la borne supérieure des $r\ge 0$ tels que $(a_n{r}^n)$ soit bornée.

1) $a_n=\frac{n!}{n^n}$. $\frac{a_{n+1}}{a_n}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n=\exp \left(-n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)\to \frac{1}{e}$, donc $R=e$.

2) $a_n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$. $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1{)}^2}=\frac{2(2n+1)}{n+1}\to 4$, donc $R=\frac{1}{4}$.

3) $a_n=\sin n$. La suite $(\sin n)$ est bornée, donc $(a_n{r}^n)$ est bornée pour $r\le 1$ : $R\ge 1$. Mais $\sin n$ ne tend pas vers $0$ : sinon $\sin (n+1)=\sin n\cos 1+\cos n\sin 1$ forcerait $\cos n\to 0$, ce qui contredit ${\sin }^{2}n+{\cos }^{2}n=1$. La série diverge donc grossièrement en $z=1$, d'où $R\le 1$. Finalement $R=1$. D'Alembert est inutilisable ici : le quotient $\frac{\sin (n+1)}{\sin n}$ n'a pas de limite.

4) $\sum z^{n!}$ (série lacunaire). Les coefficients valent $1$ aux indices $n!$ et $0$ ailleurs, ce qui exclut d'Alembert. Si $|z|<1$, $|z^{n!}|\le |z{|}^n$, terme d'une série géométrique convergente. Si $|z|\ge 1$, $|z^{n!}|\ge 1$ ne tend pas vers $0$. Donc $R=1$.