(⋆) Calculer Σₙ₌₀^+∞ (n² + 1)/(n!) xⁿ pour tout x ∈ ℝ (écrire n² =…

On écrit $n^2+1=n(n-1)+n+1$ afin de faire apparaître des factorielles simplifiables. Les trois séries obtenues sont de rayon infini, donc on peut les séparer pour tout réel $x$ : $$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{n^2+1}{n!}{x}^n=\sum _{n=2}^{+\infty }\frac{n(n-1)}{n!}{x}^n+\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{n}{n!}{x}^n+\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{x^n}{n!}.$$ Les termes d'indices $0$ et $1$ de la première somme, et celui d'indice $0$ de la deuxième, sont nuls. On simplifie $\frac{n(n-1)}{n!}=\frac{1}{(n-2)!}$ et $\frac{n}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}$, puis on décale les indices : $$\sum _{n=2}^{+\infty }\frac{x^n}{(n-2)!}=x^2{e}^x,\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{x^n}{(n-1)!}=x{e}^x,\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{x^n}{n!}=e^x.$$ D'où, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{n^2+1}{n!}{x}^n=\left(x^2+x+1\right)e^x.$$ Le rayon est infini : par d'Alembert, $\frac{(n+1{)}^2+1}{(n+1)(n^2+1)}\to 0$.

Contrôle. En $x=4$ : $(16+4+1)e^4=21e^4\approx 1146,561$, valeur que l'on retrouve en sommant numériquement la série.