Cosinus et sinus retrouvés par y''+y=0

Stratégie : la méthode du cours, en trois temps qu'il ne faut jamais fondre l'un dans l'autre. Analyse : on suppose l'existence d'une solution somme de série entière et on identifie ses coefficients. Rayon : on vérifie que la série obtenue converge. Synthèse : on montre que sa somme est bien la fonction cherchée, par l'unicité du problème de Cauchy — explicitement admise par le programme.

1. Analyse. Cherchons une solution de $y^{\prime \prime }+y=0$ de la forme $y(x)={\sum }_{n\ge 0}{a}_n{x}^n$, de rayon $R>0$. Sur $]-R,R[$, la dérivation terme à terme (deux fois, sans changement de rayon) donne $$y^{\prime \prime }(x)=\sum _{n\ge 2}n(n-1)a_n{x}^{n-2}=\sum _{n\ge 0}(n+2)(n+1)a_{n+2}{x}^n$$ (on a posé $m=n-2$ puis renommé). Donc $$y^{\prime \prime }(x)+y(x)=\sum _{n\ge 0}[(n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n]x^n.$$ Cette somme de série entière est nulle sur un voisinage de $0$ ; par unicité des coefficients d'une série entière, tous ses coefficients sont nuls : $$\forall n\ge 0,a_{n+2}=\frac{-a_n}{(n+1)(n+2)}.$$

La récurrence relie $n$ à $n+2$ : les indices pairs et les indices impairs se propagent séparément, à partir des deux données $a_0=y(0)$ et $a_1=y^{\prime }(0)$ — deux constantes libres, comme il se doit pour une équation linéaire d'ordre $2$. Par récurrence immédiate : $$a_{2p}=\frac{(-1{)}^p}{(2p)!}{a}_0,a_{2p+1}=\frac{(-1{)}^p}{(2p+1)!}{a}_1.$$ (Contrôle sur les premiers : $a_2=\frac{-a_0}{1\cdot 2}=-\frac{a_0}{2!}$, puis $a_4=\frac{-a_2}{3\cdot 4}=\frac{a_0}{2!\cdot 12}=\frac{a_0}{4!}$. $✓$)

2. Rayon. Posons $C=\max (|a_0|,|a_1|)$. Les formules ci-dessus donnent directement $|a_n|\le \frac{C}{n!}$ pour tout $n$. Donc $\left|a_n{x}^n\right|\le C\frac{|x{|}^n}{n!}$, terme général d'une série convergente pour tout $x$ réel (série exponentielle). Par comparaison, $R=+\infty$ : la série construite définit une fonction sur $\mathbb{R}$ tout entier.

3. Synthèse — le pas qu'on escamote et qu'il ne faut pas escamoter. L'analyse a seulement dit : si une solution est somme de série entière, ses coefficients sont ceux-là. Il faut maintenant conclure dans l'autre sens.

Prenons $(a_0,a_1)=(1,0)$ et notons $$C(x)=\sum _{p=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^p}{(2p)!}{x}^{2p}.$$ Cette série a un rayon infini (étape 2) ; comme les coefficients ont été construits pour annuler tous les coefficients de $y^{\prime \prime }+y$, la fonction $C$ vérifie $C^{\prime \prime }+C=0$ sur $\mathbb{R}$, avec $C(0)=1$ et $C^{\prime }(0)=0$. Or $\cos$ vérifie exactement la même équation avec les mêmes conditions initiales. L'équation $y^{\prime \prime }+y=0$ étant une équation différentielle linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants, l'unicité de la solution du problème de Cauchy (admise) donne $C=\cos$ sur $\mathbb{R}$ : $$\boxed{\cos x=\sum _{p=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^p}{(2p)!}{x}^{2p}(x\in \mathbb{R}).}$$ Avec $(a_0,a_1)=(0,1)$, la même construction donne $S(0)=0$, $S^{\prime }(0)=1$, $S^{\prime \prime }+S=0$, donc $S=\sin$ : $$\boxed{\sin x=\sum _{p=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^p}{(2p+1)!}{x}^{2p+1}(x\in \mathbb{R}).}$$

4. Deux remarques.

• La parité tombe toute seule. Avec $a_1=0$, la récurrence n'alimente jamais les indices impairs : le développement de $\cos$ n'a que des puissances paires. C'est cohérent avec le résultat général sur la parité d'une somme de série entière — ici on le retrouve par la structure de la récurrence.
• L'ordre $2$ ne change pas la méthode. Sur une équation d'ordre $1$ comme $(1+x)y^{\prime }=\alpha y$, la récurrence relie $a_{n+1}$ à $a_n$ et une seule condition initiale suffit ; ici elle relie $a_{n+2}$ à $a_n$ et il en faut deux. C'est exactement le nombre de degrés de liberté de l'équation, et c'est ce qui permet d'obtenir $\cos$ et $\sin$ d'un seul calcul.

Contrôle chiffré. Récurrence $a_{n+2}=\frac{-a_n}{(n+1)(n+2)}$ lancée numériquement à partir de $(a_0,a_1)=(1,0)$ :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$a_n$ obtenu	$1$	$0$	$-0,5$	$0$	$0,0416666667$	$0$	$-0,0013888889$
$\frac{(-1{)}^{n/2}}{n!}$ attendu	$1$	$0$	$-0,5$	$0$	$0,0416666667$	$0$	$-0,0013888889$

Identiques. Et la somme des $60$ premiers termes évaluée en $x=1,3$ vaut $$0,2674988286245874\text{contre}\cos (1,3)=0,2674988286245874,$$ les seize chiffres significatifs coïncidant. La série construite est le cosinus, comme la synthèse l'affirmait.

Acquis. Analyse $\to$ rayon $\to$ synthèse : les trois temps sont obligatoires, et c'est la synthèse (unicité de Cauchy) qui transforme une identification formelle en égalité de fonctions. C'est la méthode que le programme demande explicitement de savoir mettre en œuvre.