Déterminer le rayon de convergence de

Séries Entières · A. Rayon de convergence et lemme d'Abel · niveau 1 (application)

Énoncé

( $⋆$ ) Déterminer le rayon de convergence de $\sum \frac{( 3 n )!}{( n ! ) ^{3}} z^{n}, \sum \frac{z ^{n}}{n 3 ^{n}}, \sum \frac{3 ^{n} + ( - 2 ) ^{n}}{n} z^{n}, \sum (2 + (- 1)^{n})^{n} z^{n} .$ (pour la première, la règle de d'Alembert : le quotient vaut $\frac{( 3 n + 3 ) ( 3 n + 2 ) ( 3 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{3}}$ , de limite $27$ , donc $R = \frac{1}{27}$ ; pour la deuxième, $R = 3$ ; pour la troisième, un équivalent suffit — $a_{n} \sim \frac{3 ^{n}}{n}$ et deux suites équivalentes ont même rayon, donc $R = \frac{1}{3}$ . La quatrième échappe à d'Alembert — le quotient $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ oscille entre $3^{n + 1}$ et $3^{- n}$ : revenir à la définition, la suite $(2 + (- 1)^{n})^{n} r^{n}$ est bornée si et seulement si $3 r \leq 1$ , donc $R = \frac{1}{3}$ ).

Corrigé

1) $a_{n} = \frac{( 3 n )!}{( n ! ) ^{3}}$ . Règle de d'Alembert : $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( 3 n + 3 )!}{( 3 n )!} \cdot \frac{( n ! ) ^{3}}{(( n + 1 )! ) ^{3}} = \frac{( 3 n + 3 ) ( 3 n + 2 ) ( 3 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{3}} n \to + \infty 27,$ donc $R = \frac{1}{27}$ .

2) $a_{n} = \frac{1}{n 3 ^{n}}$ . $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{1}{3} \frac{n}{n + 1} \to \frac{1}{3}$ , donc $R = 3$ .

3) $a_{n} = \frac{3 ^{n} + ( - 2 ) ^{n}}{n}$ . On écrit $a_{n} = \frac{3 ^{n}}{n} (1 + (- \frac{2}{3})^{n}) \sim \frac{3 ^{n}}{n}$ . Deux suites équivalentes définissent des séries entières de même rayon, et $\frac{3 ^{n + 1} / ( n + 1 )}{3 ^{n} / n} \to 3$ . Donc $R = \frac{1}{3}$ .

4) $a_{n} = (2 + (- 1)^{n})^{n}$ , qui vaut $3^{n}$ pour $n$ pair et $1$ pour $n$ impair. Le quotient $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ vaut alternativement $3^{- n}$ et $3^{n + 1}$ : il n'a pas de limite, et d'Alembert ne s'applique pas. On revient à la définition du rayon :

si $0 \leq r \leq \frac{1}{3}$ , $∣ a_{n} ∣ r^{n} \leq (3 r)^{n} \leq 1$ : la suite est bornée ;
si $r > \frac{1}{3}$ , $a_{2 p} r^{2 p} = (3 r)^{2 p} \to + \infty$ : la suite n'est pas bornée.

La suite $(a_{n} r^{n})$ est bornée si et seulement si $3 r \leq 1$ , donc $R = \frac{1}{3}$ .

Bilan. $R = \frac{1}{27}$ , $3$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{3}$ . D'Alembert suffit quand le quotient a une limite ; sinon on passe par un équivalent ou, en dernier recours, par la définition.

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