(⋆) Développer en série entière en 0, en précisant chaque fois le…

1) $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$. Pour $|x|<1$, $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$, avec $$\ln (1+x)=\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n,-\ln (1-x)=\sum _{n\ge 1}\frac{x^n}{n}.$$ En les ajoutant, le coefficient de $x^n$ vaut $\frac{1+(-1{)}^{n-1}}{n}$ : il est nul pour $n$ pair et vaut $\frac{2}{n}$ pour $n$ impair. D'où $$\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\sum _{p=0}^{+\infty }\frac{x^{2p+1}}{2p+1},R=1$$ (le rayon vaut exactement $1$ : en $x=1$ on obtient une série de Riemann divergente).

2) $\frac{1}{\sqrt{1+x}}=(1+x{)}^{-1/2}$. C'est la série binomiale d'exposant $\alpha =-\frac{1}{2}$, de rayon $1$ car $\alpha \notin \mathbb{N}$. Son coefficient d'indice $n$ vaut $$\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}=\frac{(-1{)}^{n}1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2^{n}n!}=\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{n}n!\cdot 2^{n}n!}=\frac{(-1{)}^n}{4^n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right),$$ en utilisant $1\cdot 3\cdots (2n-1)=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}$. Donc $\frac{1}{\sqrt{1+x}}={\sum }_{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{4^n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)x^n=1-\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{8}-\cdots$

3) $\frac{x^3}{1-x^4}$. Série géométrique en $x^4$, valable pour $|x^4|<1$, c'est-à-dire $|x|<1$ : $$\frac{x^3}{1-x^4}=x^3\sum _{n\ge 0}{x}^{4n}=\sum _{n=0}^{+\infty }{x}^{4n+3},R=1$$ (série lacunaire : seuls les exposants $\equiv 3[4]$ apparaissent).

Contrôle en $x=0,5$. $\ln 3\approx 1,098612$, $\frac{1}{\sqrt{1,5}}\approx 0,8164966$, $\frac{0,125}{0,9375}\approx 0,1333333$. Les sommes partielles convergent vers ces valeurs, à la vitesse d'une série géométrique de raison $0,5$ (ou $0,25$ pour la première).