Développer en série entière en 0, en précisant le rayon : 1/(2 - x)…

1) Pour $|x|<2$, on se ramène à la série géométrique : $$\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{x^n}{2^{n+1}},R=2.$$

2) Pour $|x|<1$, $\frac{1}{1-t}={\sum }_{n\ge 0}{t}^n$, qu'on intègre terme à terme sur $[0,x]$, à l'intérieur du disque de convergence. Comme $\ln (1-x)=-{\int }_0^x\frac{\mathrm{d}t}{1-t}$, $$\ln (1-x)=-\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{x^n}{n},R=1.$$

3) Pour $|x|<1$, on substitue $-x^2$ dans la série géométrique, puis on multiplie par $x$ : $$\frac{x}{1+x^2}=x\sum _{n=0}^{+\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1{)}^n{x}^{2n+1},R=1.$$ Le rayon vaut exactement $1$ : en $x=1$, le terme général ne tend pas vers $0$.

4) On substitue $x^2$ dans $e^u={\sum }_{n\ge 0}\frac{u^n}{n!}$, valable pour tout $u$ : $$e^{x^2}=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{x^{2n}}{n!},R=+\infty .$$

Contrôle : les premiers termes $\frac{1}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x^2}{8}$ et $-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$ coïncident avec les développements limités en $0$.