e^-1/x^2 : C^∞ mais non développable

Stratégie : trois temps nettement séparés. (1) La forme des dérivées sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, par récurrence. (2) L'existence et la nullité de $f^{(n)}(0)$, en revenant au taux d'accroissement — c'est là qu'est tout le travail. (3) La conclusion par l'unicité du développement en série entière. Le fil conducteur est un unique lemme de croissances comparées.

On pose $f(x)=e^{-1/x^2}$ pour $x\ne 0$ et $f(0)=0$.

0. Le lemme. Pour tout polynôme $P$, $P\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2}\underset{x\to 0,x\ne 0}{\to }0.$

Il suffit de le voir pour $P(u)=u^m$, par linéarité. Posons $u=\frac{1}{|x|}\to +\infty$, puis $t=u^2\to +\infty$ : $$\left|\frac{1}{x^m}\right|e^{-1/x^2}=u^m{e}^{-u^2}=t^{m/2}{e}^{-t}⟶0$$ par croissances comparées (l'exponentielle écrase toute puissance). C'est ce lemme, et lui seul, qui fait fonctionner tout l'exercice.

1. La forme des dérivées sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Montrons par récurrence : pour tout $n$, il existe un polynôme $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2}$ pour tout $x\ne 0$.

• $n=0$ : $P_0=1$.
• Hérédité : sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, $x\mapsto \frac{1}{x}$ est dérivable de dérivée $-\frac{1}{x^2}$, et $x\mapsto e^{-1/x^2}$ est dérivable de dérivée $\frac{2}{x^3}{e}^{-1/x^2}$. La règle du produit donne $$f^{(n+1)}(x)=\left[-\frac{1}{x^2}{P}_n^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{2}{x^3}{P}_n\left(\frac{1}{x}\right)\right]e^{-1/x^2}=P_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2},$$ avec $P_{n+1}(u)=-u^2{P}_n^{\prime }(u)+2u^3{P}_n(u)$, qui est bien un polynôme.

Les premiers valent $P_1(u)=2u^3$, $P_2(u)=4u^6-6u^4$, $P_3(u)=8u^9-36u^7+24u^5$, $P_4(u)=16u^{12}-144u^{10}+300u^8-120u^6$ : le degré est $3n$, et il croît — c'est précisément pour cela qu'aucune majoration grossière ne suffirait et qu'il faut le lemme.

2. En $0$ : existence des dérivées et nullité. Montrons par récurrence : $f$ est $n$ fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{(n)}(0)=0$.

• $n=0$ : $f(0)=0$ par définition du prolongement.
• Hérédité : supposons $f^{(n)}$ définie sur $\mathbb{R}$, égale à $P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2}$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ et nulle en $0$. Le taux d'accroissement de $f^{(n)}$ en $0$ vaut, pour $x\ne 0$, $$\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x-0}=\frac{1}{x}{P}_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2}=Q\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2},Q(u)=u{P}_n(u),$$ polynôme en $\frac{1}{x}$ multiplié par $e^{-1/x^2}$ : il tend vers $0$ par le lemme. Donc $f^{(n)}$ est dérivable en $0$ et $f^{(n+1)}(0)=0$.

Et la continuité de $f^{(n+1)}$, pour parler de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ et non de simple dérivabilité : sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, $f^{(n+1)}$ est continue (produit et composée de fonctions continues) ; en $0$, $f^{(n+1)}(x)=P_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2}\to 0=f^{(n+1)}(0)$, encore par le lemme.

Conclusion de cette partie : $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$, et $f^{(n)}(0)=0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

3. $f$ n'est pas développable en série entière en $0$. Supposons qu'il existe $r>0$ et une suite $(a_n)$ tels que $$f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n{x}^n\text{pour tout }x\in ]-r,r[.$$ Le cours affirme que les coefficients d'une série entière de rayon strictement positif sont nécessairement ceux de Taylor de sa somme : $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. Ici tous les $f^{(n)}(0)$ sont nuls, donc $a_n=0$ pour tout $n$, donc $f$ serait identiquement nulle sur $]-r,r[$. Or $$f\left(\frac{r}{2}\right)=e^{-4/r^2}>0.$$ Contradiction. $f$ n'est développable en série entière sur aucun intervalle $]-r,r[$.

4. Le point délicat, et ce qu'il enseigne. La série de Taylor de $f$ en $0$ existe (tous les coefficients sont définis, ils valent $0$) et elle converge partout (c'est la série nulle, de rayon $+\infty$). Simplement, elle ne converge pas vers $f$. On tient donc trois énoncés à ne jamais confondre :

énoncé	statut pour $f=e^{-1/x^2}$
$f$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$	vrai
la série de Taylor de $f$ converge sur un voisinage de $0$	vrai (c'est la série nulle)
la série de Taylor de $f$ a pour somme $f$	faux

Être ${\mathcal{C}}^{\infty }$ est nécessaire mais pas suffisant pour être développable. Pour prouver qu'une fonction l'est, il faut une information de plus : contrôler le reste de la formule de Taylor avec reste intégral et montrer qu'il tend vers $0$ (c'est la voie du cours pour $\exp$, $\cos$, $\sin$), ou passer par une équation différentielle avec unicité de Cauchy, ou composer et combiner des développements déjà connus.

Contrôle chiffré. L'écrasement annoncé par le lemme, mesuré :

$x$	$f(x)=e^{-1/x^2}$	$f(x)/x^{10}$
$1$	$3,68\cdot 10^{-1}$	$3,68\cdot 10^{-1}$
$0,5$	$1,83\cdot 10^{-2}$	$1,88\cdot 10^1$
$0,2$	$1,39\cdot 10^{-11}$	$1,36\cdot 10^{-4}$
$0,1$	$3,72\cdot 10^{-44}$	$3,72\cdot 10^{-34}$
$0,05$	$1,92\cdot 10^{-174}$	$1,96\cdot 10^{-161}$

La colonne de droite n'est pas monotone au départ ($18,8$ en $x=0,5$), mais elle plonge ensuite : le lemme n'affirme rien d'autre qu'une limite. Et le quotient par $x^{10}$ tend lui aussi vers $0$ — traduction numérique de $f^{(n)}(0)=0$ : $f$ est nulle en $0$ à un ordre plus grand que tout entier, ce qu'aucune série entière non nulle ne peut faire.

Acquis. Le contre-exemple à connaître, et sa morale : la classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ ne se transmet pas en analyticité. Le mécanisme — récurrence sur $P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2}$, taux d'accroissement en $0$, croissances comparées, unicité des coefficients — est à savoir dérouler entièrement.