Facteur polynomial et factorielle face au rayon

Stratégie : ici $a_n$ est quelconque — la règle de d'Alembert est inapplicable (le rapport $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ peut n'avoir aucune limite, et $a_n$ peut s'annuler). On revient donc à la définition du rayon : $R=\sup \{r\ge 0:(a_n{r}^n)\text{ est borneˊe}\}$. Tout se fait alors par encadrements, avec la seule croissance comparée « géométrique contre puissance ».

Notons $R$ le rayon de $\sum a_n{z}^n$, $R_1$ celui de $\sum n^{2026}{a}_n{z}^n$ et $R_2$ celui de $\sum \frac{a_n}{n!}{z}^n$.

1. $R_1=R$ : une puissance de $n$ ne déplace pas le rayon.

(a) $R\ge R_1$. Pour $n\ge 1$, $|a_n|\le n^{2026}|a_n|$, c'est-à-dire $a_n=O\left(n^{2026}{a}_n\right)$. La règle de comparaison du cours — si $a_n=O(b_n)$ alors $R_a\ge R_b$ — donne immédiatement $R\ge R_1$.

(b) $R_1\ge R$. Si $R=0$ il n'y a rien à montrer. Sinon, soit $z$ tel que $|z|<R$, et choisissons $r$ avec $|z|<r<R$. Par définition du rayon, la suite $(a_n{r}^n)$ est bornée : il existe $M$ tel que $|a_n{r}^n|\le M$ pour tout $n$. Alors, en posant $q=\frac{|z|}{r}\in [0,1[$ : $$\left|n^{2026}{a}_n{z}^n\right|=n^{2026}\left|a_n{r}^n\right|{\left(\frac{|z|}{r}\right)}^n\le M{n}^{2026}{q}^n.$$ Or $n^{2026}{q}^n\to 0$ par croissances comparées (une géométrique de raison $q<1$ écrase toute puissance de $n$) : la suite $\left(n^{2026}{a}_n{z}^n\right)$ est donc bornée, ce qui donne $|z|\le R_1$. Ceci valant pour tout $|z|<R$, on conclut $R\le R_1$.

Donc $R_1=R$. Et l'exposant $2026$ n'a joué aucun rôle : le même raisonnement vaut pour $n^{\alpha }$, $\alpha \in \mathbb{R}$ quelconque. C'est le même phénomène que l'énoncé du cours $R\left(\sum n^{\alpha }{x}^n\right)=1$ pour tout $\alpha$ : les puissances de $n$ sont invisibles à l'échelle géométrique qui gouverne le rayon.

2. $R_2=+\infty$ dès que $R>0$.

Supposons $R>0$ et choisissons $r\in ]0,R[$ : la suite $(a_n{r}^n)$ est bornée par un certain $M$. Soit $z$ quelconque. Alors $$\left|\frac{a_n}{n!}{z}^n\right|=\frac{\left|a_n{r}^n\right|}{n!}{\left(\frac{|z|}{r}\right)}^n\le \frac{M}{n!}{\left(\frac{|z|}{r}\right)}^n.$$ Le majorant est le terme général de la série exponentielle $M{e}^{|z|/r}$, convergente. Donc $\sum \frac{a_n}{n!}{z}^n$ converge absolument pour tout $z$ : $R_2=+\infty$.

L'hypothèse $R>0$ n'est pas décorative. Prenons $a_n=(n!{)}^2$. Pour tout $r>0$, $(n!{)}^2{r}^n\to +\infty$ (la double factorielle écrase la géométrique), donc la suite n'est bornée pour aucun $r>0$ : $R=0$. Et $\frac{a_n}{n!}=n!$, pour laquelle $n!r^n\to +\infty$ également : le rayon reste nul. Diviser par $n!$ ne sauve pas ce qui divergeait « deux fois plus vite ».

3. Le point délicat. On est tenté d'écrire, pour la première question, « $n^{2026}{a}_n\sim a_n$ donc même rayon » : c'est faux, $n^{2026}{a}_n$ n'est pas équivalent à $a_n$. La règle du cours utilisable est celle du $O$, et elle ne donne l'inégalité que dans un sens ; l'autre sens réclame le retour à la définition avec le $r$ intermédiaire strictement entre $|z|$ et $R$. Ce « $r$ glissé entre $|z|$ et $R$ » est le geste standard de tous les raisonnements sur le rayon (c'est déjà celui du lemme d'Abel), et il ne s'improvise pas.

Ce qu'il faut retenir, sous forme de tableau :

transformation de $a_n$	effet sur le rayon
$\times n^{\alpha }$ ($\alpha \in \mathbb{R}$)	aucun : $R^{\prime }=R$
$\times \frac{1}{n!}$	$R^{\prime }=+\infty$ (si $R>0$)
$\times n!$	$R^{\prime }=0$ (si $R<+\infty$)
$\times {\lambda }^n$	$R^{\prime }=\frac{R}{|\lambda |}$

L'échelle qui gouverne le rayon est celle des géométriques ; les puissances de $n$ leur sont négligeables, les factorielles les écrasent.

Contrôle chiffré. Prenons $a_n=3^{-n}$, de rayon $R=3$, et $b_n=n^{2026}{3}^{-n}$. La règle de d'Alembert appliquée à $b_n$ donne $$\frac{1}{\left|b_{n+1}/b_n\right|}=\frac{3}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{2026}}.$$

$n$	$10^3$	$10^4$	$10^6$	$10^8$	$10^{12}$
valeur	$0,395986$	$2,449839$	$2,993928$	$2,999939$	$3,000000$

La limite est bien $3=R$ — mais il faut aller jusqu'à $n\approx 10^6$ pour la voir, car ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{2026}\approx e^{2026/n}$ ne vaut $1$ qu'une fois $n$ grand devant $2026$. Le facteur polynomial ne change pas la limite ; il retarde seulement sa lisibilité numérique. La démonstration, elle, ne dépend d'aucun rang.

Acquis. Quand $a_n$ est quelconque, on n'a que la définition du rayon (« $(a_n{r}^n)$ bornée ») et les deux règles de comparaison en $O$ et en $\sim$. Le geste qui débloque est toujours le même : intercaler un $r$ strictement entre $|z|$ et $R$, borner $(a_n{r}^n)$, et faire porter le reste par une géométrique de raison $<1$.