Parité d'une somme et parité de ses exposants

Stratégie : un seul outil, l'unicité du développement en série entière. Mais pour l'appliquer il faut deux séries à comparer ; c'est la substitution $x\to -x$ qui fabrique la seconde. Tout l'exercice tient dans ce geste.

Le cadre. Soit $\sum a_n{x}^n$ une série entière de rayon $R>0$ et $f$ sa somme sur $I=]-R,R[$. L'intervalle $I$ est symétrique par rapport à $0$ : $f(-x)$ a un sens dès que $f(x)$ en a, ce qui rend la question de la parité légitime.

1. Cas où $f$ est paire. Supposons $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in I$. Pour $x\in I$, on a $-x\in I$ et $$f(-x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n(-x{)}^n=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1{)}^n{a}_n{x}^n,$$ qui est encore une série entière, de rayon $R$ également (son terme général a même module que celui de la première). L'hypothèse dit donc que les deux séries entières $$\sum _{n\ge 0}(-1{)}^n{a}_n{x}^n\text{et}\sum _{n\ge 0}{a}_n{x}^n$$ ont la même somme sur $]-R,R[$, donc en particulier sur un voisinage de $0$. Par unicité du développement en série entière, leurs coefficients coïncident : $$\forall n\in \mathbb{N},(-1{)}^n{a}_n=a_n.$$ Pour $n$ impair, cela s'écrit $-a_n=a_n$, soit $2a_n=0$, donc $a_n=0$. (Pour $n$ pair l'égalité est automatique et n'apporte rien.) Seuls les coefficients d'indice pair peuvent être non nuls, et $$f(x)=\sum _{p=0}^{+\infty }{a}_{2p}{x}^{2p}.$$

2. Cas où $f$ est impaire. Si $f(-x)=-f(x)$ sur $I$, le même calcul donne $(-1{)}^n{a}_n=-a_n$, donc $2a_n=0$ pour $n$ pair : $a_n=0$ pour tout $n$ pair, et $$f(x)=\sum _{p=0}^{+\infty }{a}_{2p+1}{x}^{2p+1}.$$ En particulier $a_0=f(0)=0$, ce qu'on savait déjà par ailleurs (une fonction impaire définie en $0$ y est nulle) : le résultat est cohérent avec l'évidence.

3. Réciproques. Elles sont immédiates : une série entière ne comportant que des puissances paires a une somme paire, une série ne comportant que des puissances impaires a une somme impaire. L'équivalence est donc complète :

$f$ somme de série entière de rayon $R>0$	coefficients susceptibles d'être non nuls
$f$ paire	uniquement les $a_n$ d'indice pair
$f$ impaire	uniquement les $a_n$ d'indice impair

4. Le point délicat. Tout repose sur l'unicité, et l'unicité a deux exigences qu'on oublie facilement :

• un rayon strictement positif — sans quoi il n'y a pas de fonction somme à comparer ;
• une égalité valable sur tout un voisinage de $0$, pas en quelques points isolés. Deux séries entières qui coïncident en une suite finie de points n'ont aucune raison d'avoir les mêmes coefficients.

Et l'unicité n'est pas une évidence : c'est le théorème du cours qui identifie les coefficients à ceux de Taylor, $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. C'est le même théorème qui autorise l'identification terme à terme dans la méthode de l'équation différentielle ; savoir le nommer vaut mieux que de l'invoquer sous le nom d'« identification ».

5. Ce que cela fait gagner en pratique. Devant une fonction paire, on peut chercher son développement directement sous la forme $\sum c_p{x}^{2p}$ et diviser par deux le travail d'identification. La table à avoir en tête :

que des puissances paires	que des puissances impaires
$\cos$, $\mathrm{ch}$, $x\mapsto e^{x^2}$, $x\mapsto \frac{1}{1+x^2}$	$\sin$, $\mathrm{sh}$, $\mathrm{Arctan}$, $x\mapsto \ln \frac{1+x}{1-x}$

C'est aussi la lecture immédiate d'un résultat déjà rencontré : dans la résolution de $y^{\prime \prime }+y=0$ par séries entières, choisir $a_1=0$ n'alimente jamais les indices impairs — le développement de $\cos$ est pair, et il ne pouvait pas en être autrement.

Contrôle chiffré. Coefficients de Taylor calculés numériquement, sur une fonction paire et une fonction impaire non triviales :

fonction	$a_0$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$	$a_5$	$a_6$	$a_7$	$a_8$	$a_9$
$\mathrm{ch}x\cos x$ (paire)	$1$	$0$	$0$	$0$	$-0,16667$	$0$	$0$	$0$	$3,968\cdot 10^{-4}$	$0$
$\mathrm{sh}x$ (impaire)	$0$	$1$	$0$	$0,16667$	$0$	$8,333\cdot 10^{-3}$	$0$	$1,984\cdot 10^{-4}$	$0$	$2,756\cdot 10^{-6}$

Tous les indices impairs sont nuls sur la première ligne, tous les indices pairs sur la seconde : le théorème est vérifié. On observera que $\mathrm{ch}x\cos x$ annule aussi $a_2$ et $a_6$ : son développement ne contient que les puissances multiples de $4$ (on a en fait $\mathrm{ch}x\cos x={\sum }_{k\ge 0}\frac{(-4{)}^k}{(4k)!}{x}^{4k}$, dont on vérifie $-\frac{4}{4!}=-\frac{1}{6}$ et $\frac{16}{8!}=3,968\cdot 10^{-4}$). C'est une propriété supplémentaire de cette fonction particulière, que la seule parité ne prédisait pas — un rappel utile que le théorème donne une condition nécessaire sur les coefficients, pas la liste de ceux qui sont non nuls.

Acquis. Comparer $f(x)$ et $f(-x)$ comme deux séries entières puis invoquer l'unicité : c'est un modèle de raisonnement qui se réemploie tel quel pour toute relation fonctionnelle du type $f(\omega x)=\lambda f(x)$.