Une même série entière pour ch et

Stratégie : reconnaître dans $\sum \frac{x^n}{(2n)!}$ la « partie paire » d'une exponentielle, après le changement de variable $x=t^2$. Le seul soin à prendre est le signe de $x$, qui décide si la racine carrée est réelle ou imaginaire — d'où deux écritures pour une seule et même fonction.

On pose $S(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{x^n}{(2n)!}$.

1. Rayon de convergence. $a_n=\frac{1}{(2n)!}$, tous non nuls, et $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n)!}{(2n+2)!}=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$ Par la règle de d'Alembert, $R=+\infty$ : $S$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, et elle y est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ (somme d'une série entière sur son intervalle ouvert de convergence, ici $\mathbb{R}$).

2. Cas $x>0$. Posons $t=\sqrt{x}>0$, de sorte que $x^n=t^{2n}$. Le développement du cosinus hyperbolique, valable sur $\mathbb{R}$, s'obtient en demi-somme des développements de $e^t$ et $e^{-t}$ — les termes impairs se détruisent, les pairs se doublent : $$\mathrm{ch}t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}=\frac{1}{2}\sum _{k\ge 0}\frac{t^k+(-t{)}^k}{k!}=\sum _{n\ge 0}\frac{t^{2n}}{(2n)!}.$$ Par conséquent $$\boxed{\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{x^n}{(2n)!}=\mathrm{ch}\left(\sqrt{x}\right)(x>0).}$$

3. Cas $x<0$. Posons $x=-y$ avec $y>0$, et $s=\sqrt{y}=\sqrt{-x}>0$. Alors $x^n=(-1{)}^n{y}^n=(-1{)}^n{s}^{2n}$, et le développement du cosinus (même mécanisme de partie paire, à partir de $e^{is}$ et $e^{-is}$) donne $$S(x)=\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n{s}^{2n}}{(2n)!}=\cos s,$$ soit $$\boxed{\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{x^n}{(2n)!}=\cos \left(\sqrt{-x}\right)(x<0).}$$

4. En $x=0$, et le recollement. $S(0)=1$, et $\mathrm{ch}(0)=\cos (0)=1$ : les deux expressions se raccordent. Elles le doivent, puisque $S$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme somme d'une série entière de rayon infini.

5. Le point délicat. Il n'y a qu'une seule fonction ici : $S$, parfaitement lisse sur $\mathbb{R}$. Ce sont les deux expressions $\mathrm{ch}\sqrt{x}$ et $\cos \sqrt{-x}$ qui changent de forme selon le signe, simplement parce que $\sqrt{x}$ n'est réel que pour $x\ge 0$. On peut résumer :

$x$	expression fermée de $S(x)$
$x>0$	$\mathrm{ch}\left(\sqrt{x}\right)$
$x=0$	$1$
$x<0$	$\cos \left(\sqrt{-x}\right)$

Le passage de $\mathrm{ch}$ à $\cos$ par le changement $x\to -x$ n'est rien d'autre que la relation $\mathrm{ch}(is)=\cos s$, lue sur les coefficients plutôt que sur les fonctions.

Et voici le piège à ne pas manquer : $x\mapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$, ni même définie à gauche ; les deux formules fermées sont donc individuellement mauvaises au voisinage de $0$. C'est la série, et elle seule, qui montre que $S$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$ en $0$ — un exemple net où le développement en série entière donne une information que la forme close cache. (Le miracle n'en est pas un : $\mathrm{ch}$ est paire, donc $\mathrm{ch}\sqrt{x}$ ne fait intervenir que des puissances entières de $x$, et la racine disparaît.)

Contrôle chiffré. Somme des $60$ premiers termes contre la référence, dans les deux régimes :

$x$	$S(x)$ (60 termes)	référence
$4$	$3,762195691084$	$\mathrm{ch}2=3,762195691084$
$0,7$	$1,370899056979$	$\mathrm{ch}\sqrt{0,7}=1,370899056979$
$-4$	$-0,416146836547$	$\cos 2=-0,416146836547$
$-9$	$-0,989992496600$	$\cos 3=-0,989992496600$

Les douze décimales coïncident dans les quatre cas, y compris pour $x=-9$ où $S$ est négative — ce qu'aucune écriture en $\mathrm{ch}$ n'aurait pu produire, $\mathrm{ch}\ge 1$. Le changement de régime en $x=0$ est bien réel, et le signe négatif en est la preuve visible.

Acquis. Un changement de variable de la forme $x=t^2$ transporte les développements connus en $t$ vers des développements en $x$ dont seuls survivent les indices pairs — et il faut alors traiter séparément les deux signes de $x$. Le réflexe symétrique est utile : devant $\sum \frac{x^n}{(2n+1)!}$, on écrirait de même $\frac{\mathrm{sh}\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ pour $x>0$ et $\frac{\sin \sqrt{-x}}{\sqrt{-x}}$ pour $x<0$.