Exercices corrigés — Réduction des Endomorphismes et des Matrices Carrées (mathématiques (PT))
21 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
Niveau ★ — application directe du cours
- Premiers éléments propres Exercice de TD
- Lire un spectre Exercice de TD
- Diagonalisation complète en dimension 3 Exercice de TD
Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire
- Puissances par diagonalisation Exercice de TD
- Commutant d'une matrice à spectre simple Exercice de TD
Niveau ★★★ — approfondissement
- Une matrice nilpotente Exercice de TD
- Décomposition D + N et puissances Exercice de TD
A. Sous-espaces stables et spectre d'un produit
- Un sous-espace stable l'est aussi par l'inverse Exercice de TD
- uv et vu ont toujours le même spectre Exercice de TD
B. Localiser le spectre : matrices stochastiques, dimension 2
- Matrices stochastiques : le spectre dans le disque unité Exercice de TD
- Déterminant négatif en dimension 2 : diagonalisable Exercice de TD
C. Diagonalisable, nilpotent : décompositions et critères
- Partie diagonalisable et partie nilpotente qui commutent Exercice de TD
- Le carré diagonalisable suffit, à condition que l'endomorphisme soit inversible Exercice de TD
- Deux endomorphismes qui commutent se diagonalisent dans une même base Exercice de TD
- Les traces des puissances toutes nulles caractérisent la nilpotence Exercice de TD
Z. Problèmes de concours corrigés
- Racine carrée d'une matrice symétrique définie positive Exercice d'entraînement
- Dans ℝ³, les trois droites engendrées par (1,0,0), (0,1,0) et (1,1,0)… Application directe du cours
- Calculer … pour …, …, B quelconque. Application directe du cours
- Déterminer les éléments propres de …, …, … (sur … puis sur …) Application directe du cours
- Diagonaliser si possible Application directe du cours
- Retrouver par le critère algébrique que projecteurs (p² = p) et… Application directe du cours