Réduction des Endomorphismes et des Matrices Carrées

Cours · mathématiques (PT), chapitre 2 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une matrice symétrique transforme le cercle en ellipse : ses vecteurs propres donnent les axes et ne changent pas de direction.

2.1 Introduction et vue d'ensemble

La réduction des endomorphismes et des matrices carrées (diagonalisation, trigonalisation) constitue l'un des piliers de l'analyse matricielle et du calcul scientifique. Elle consiste à trouver une base adaptée dans laquelle la matrice d'un opérateur linéaire prend la forme la plus simple possible (diagonale ou triangulaire).

En physique et en sciences de l'ingénieur, la réduction permet de découpler les systèmes d'équations différentielles couplées, d'isoler les modes propres de vibration des structures mécaniques (ponts, ailes d'avion, suspensions automobiles), de calculer les puissances de matrices $A^{k}$ et l'exponentielle de matrice $e^{t A}$ , et d'analyser la stabilité des asservissements et robots.

Figure : Ce qu'un endomorphisme diagonalisable fait à l'espace. Il dilate d'un facteur

$λ_{i}$ le long de chaque direction propre, et rien d'autre : l'image du cercle unité est l'ellipse dont les axes portent les directions propres et dont les demi-axes valent $∣ λ_{1} ∣$ et $∣ λ_{2} ∣$ . Ici $λ_{1} = 2, 2$ étire, $λ_{2} = 0, 8$ contracte — et l'on voit que $u (v_{2})$ est plus court que $v_{2}$ . Une

valeur propre négative retournerait en outre la direction correspondante.

2.2 Éléments propres : Valeurs propres et Sous-espaces propres

Chercher une valeur propre, c'est chercher une direction que $u$ ne dévie pas. Sur une telle direction, l'endomorphisme se réduit à une multiplication par un scalaire, c'est-à-dire à l'opération la plus simple qui soit — et tout le chapitre consiste à savoir quand ces directions sont assez nombreuses pour engendrer l'espace entier.

2.2.1 Définitions intrinsèques

Définition 2.1Valeurs propres, vecteurs propres et spectre

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel et $u \in L (E)$ .

Un scalaire $λ \in K$ est une valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur non nul $x \in E ∖ {0}$ tel que :

$u (x) = λ x ⟺ (u - λ id_{E}) (x) = 0.$

Le vecteur $x \neq = 0$ est appelé vecteur propre associé à la valeur propre $λ$ .
L'ensemble des valeurs propres de $u$ est appelé le spectre de $u$ , noté $Sp_{K} (u)$ (ou $Sp (A)$ pour une matrice).
Pour $λ \in Sp (u)$ , le sous-espace propre associé à $λ$ est le sous-espace :

$E_{λ} (u) = ker (u - λ id_{E}) = {x \in E ∣ u (x) = λ x} .$

Il est constitué du vecteur nul et de tous les vecteurs propres associés à $λ$ . On a $dim E_{λ} (u) \geq 1$ .

Proposition 2.2Lecture géométrique : les droites stables

Une droite vectorielle $D = K x$ (avec $x \neq = 0$ ) est stable par $u$ si et seulement si $x$ est un vecteur propre de $u$ . Chercher les valeurs propres, c'est donc exactement chercher les droites que $u$ ne dévie pas.

Démonstration

Si $D$ est stable, $u (x) \in D = K x$ , donc $u (x) = λ x$ pour un certain $λ \in K$ , et $x \neq = 0$ : c'est un vecteur propre. Réciproquement, si $u (x) = λ x$ , alors pour tout $μ \in K$ on a $u (μx) = λ μx \in D$ , donc $D$ est stable.

Définition 2.3Éléments propres d'une matrice carrée

Soit $A \in M_{n} (K)$ . Un scalaire $λ \in K$ est valeur propre de $A$ s'il existe une colonne $X \in M_{n, 1} (K)$ non nulle telle que

$A X = λ X .$

$X$ est alors un vecteur propre de $A$ associé à $λ$ , et $E_{λ} (A) = ker (A - λ I_{n})$ est le sous-espace propre associé. Le spectre de $A$ est noté $Sp (A)$ .

Les deux points de vue coïncident : si $A$ est la matrice de $u$ dans une base $B$ , alors $Sp (u) = Sp (A)$ , et les vecteurs propres de $u$ sont exactement les vecteurs dont la colonne de coordonnées dans $B$ est un vecteur propre de $A$ .

ImportantTrois précisions qui coûtent des points

Le vecteur nul n'est jamais un vecteur propre, alors que le scalaire $0$ peut très bien être une valeur propre : $0 \in Sp (u)$ signifie exactement que $ker u \neq = {0}$ , c'est-à-dire que $u$ n'est pas injectif. La dissymétrie est voulue : sans l'exclusion de $x = 0$ , tout scalaire serait valeur propre et la notion serait vide.

Le spectre dépend du corps. La rotation d'angle $π /2$ du plan, de matrice $(01 - 1 0)$ , ne laisse aucune direction réelle invariante : son spectre est vide sur $R$ . Sur $C$ , la même matrice a pour spectre ${i, - i}$ . Un énoncé qui ne précise pas le corps est incomplet.

Le sous-espace propre est un noyau, et c'est sous cette forme qu'on le calcule : résoudre $u (x) = λ x$ , c'est résoudre le système homogène $(A - λ I_{n}) X = 0$ , dont la dimension de l'ensemble des solutions vaut $n - rg (A - λ I_{n})$ .

Exercices du chapitre

Premiers éléments propres corrigé
Lire un spectre corrigé
Diagonalisation complète en dimension 3 corrigé
Puissances par diagonalisation corrigé
Commutant d'une matrice à spectre simple corrigé
Une matrice nilpotente corrigé

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