Espaces Préhilbertiens Réels et Espaces Euclidiens

3.1 Introduction et vue d'ensemble

L'introduction d'un produit scalaire sur un espace vectoriel réel transforme l'algèbre linéaire pure en une géométrie métrique : elle permet de mesurer des longueurs, de définir des angles, de caractériser l'orthogonalité de deux vecteurs, et de projeter orthogonalement sur un sous-espace — l'opération qui rend minimale la distance à ce sous-espace.

En classe de PT, les espaces euclidiens sont omniprésents en sciences de l'ingénieur : mécanique du solide, où le tenseur d'inertie fournit des axes principaux orthogonaux, et plus généralement toute situation où l'on cherche à approcher au mieux une grandeur par une combinaison d'un petit nombre d'autres.

Figure : Le théorème de la meilleure approximation. Parmi tous les vecteurs $\overrightarrow{y}$

du sous-espace $F$, celui qui approche le mieux $\overrightarrow{x}$ est sa projection orthogonale $p_F(\overrightarrow{x})$, et l'erreur commise est la longueur de la perpendiculaire : $\Vert \overrightarrow{x}-p_F(\overrightarrow{x})\Vert \le \Vert \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\Vert$ pour tout $\overrightarrow{y}\in F$. La démonstration tient en une ligne, par Pythagore appliqué au triangle rectangle

$(\overrightarrow{x}-p_F(\overrightarrow{x}),p_F(\overrightarrow{x})-\overrightarrow{y})$.

3.2 Produit scalaire, Norme euclidienne et Inégalités fondamentales

Un espace vectoriel, seul, ne connaît ni longueur ni angle : on peut y additionner des vecteurs et les multiplier par des scalaires, rien de plus. Le produit scalaire est ce qu'on lui ajoute pour retrouver la géométrie, et l'intérêt de l'axiomatique qui suit est qu'elle ne mentionne aucune coordonnée — elle s'appliquera donc aussi bien à ${\mathbb{R}}^n$ qu'à un espace de polynômes ou de fonctions continues, où « l'angle entre deux vecteurs » n'avait a priori aucun sens.

3.2.1 Définitions axiomatiques

Le quatrième axiome est celui qu'on oublie de vérifier, et c'est pourtant le seul qui puisse échouer sur un exemple sérieux. Sur $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$, l'application $⟨f,g⟩={\int }_a^{b}fg$ est bien définie positive parce qu'une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle ; le même énoncé serait faux pour des fonctions continues par morceaux, où une fonction nulle sauf en un point aurait une intégrale nulle sans être nulle. Le mot « continue » n'est donc pas décoratif dans l'énoncé des exercices.

La distance associée est alors $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$. Elle vérifie les propriétés attendues d'une distance — séparation, symétrie, inégalité triangulaire — dont la dernière découle de celle des normes, établie plus bas.

La polarisation dit quelque chose de fort : le produit scalaire est entièrement déterminé par la norme qu'il engendre. Deux produits scalaires différents ne peuvent donc pas donner la même norme, et toute propriété qu'on démontre sur les normes se transporte au produit scalaire. C'est ce qui rendra équivalentes, au chapitre 4, la conservation des longueurs et celle des angles.

3.2.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski