Espaces Préhilbertiens Réels et Espaces Euclidiens

3.2 Produit scalaire, Norme euclidienne et Inégalités fondamentales

Un espace vectoriel, seul, ne connaît ni longueur ni angle : on peut y additionner des vecteurs et les multiplier par des scalaires, rien de plus. Le produit scalaire est ce qu'on lui ajoute pour retrouver la géométrie, et l'intérêt de l'axiomatique qui suit est qu'elle ne mentionne aucune coordonnée — elle s'appliquera donc aussi bien à ${\mathbb{R}}^n$ qu'à un espace de polynômes ou de fonctions continues, où « l'angle entre deux vecteurs » n'avait a priori aucun sens.

3.2.1 Définitions axiomatiques

Le quatrième axiome est celui qu'on oublie de vérifier, et c'est pourtant le seul qui puisse échouer sur un exemple sérieux. Sur $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$, l'application $⟨f,g⟩={\int }_a^{b}fg$ est bien définie positive parce qu'une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle ; le même énoncé serait faux pour des fonctions continues par morceaux, où une fonction nulle sauf en un point aurait une intégrale nulle sans être nulle. Le mot « continue » n'est donc pas décoratif dans l'énoncé des exercices.

La distance associée est alors $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$. Elle vérifie les propriétés attendues d'une distance — séparation, symétrie, inégalité triangulaire — dont la dernière découle de celle des normes, établie plus bas.

La polarisation dit quelque chose de fort : le produit scalaire est entièrement déterminé par la norme qu'il engendre. Deux produits scalaires différents ne peuvent donc pas donner la même norme, et toute propriété qu'on démontre sur les normes se transporte au produit scalaire. C'est ce qui rendra équivalentes, au chapitre 4, la conservation des longueurs et celle des angles.

3.2.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski

C'est l'inégalité la plus utilisée de tout le programme, et il faut savoir que son intérêt principal n'est pas de majorer un produit scalaire : c'est de majorer une intégrale ou une somme en la lisant comme un produit scalaire. Écrire ${\left({\int }_a^{b}fg\right)}^2\le {\int }_a^b{f}^2{\int }_a^b{g}^2$, ou ${\left(\sum a_i{b}_i\right)}^2\le \sum a_i^2\sum b_i^2$, c'est la même inégalité vue sur deux espaces différents. Le choix de $f$ et de $g$ dans un intégrande donné est tout l'art de l'exercice — décomposer $h=\sqrt{h}\cdot \sqrt{h}$, ou faire apparaître un facteur $1$, sont les deux découpages standards.

Figure : Ce que Cauchy-Schwarz autorise. L'inégalité

$|⟨\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}⟩|\le \Vert \overrightarrow{x}\Vert \Vert \overrightarrow{y}\Vert$ signifie exactement que le quotient $\frac{⟨\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}⟩}{\Vert \overrightarrow{x}\Vert \Vert \overrightarrow{y}\Vert }$ reste dans $[-1,1]$ : il peut donc être posé comme le cosinus d'un angle, ce qui définit la notion d'angle dans un espace euclidien quelconque — y compris un espace de fonctions, où elle n'avait a priori aucun sens. La quantité $\Vert \overrightarrow{y}\Vert \cos \theta$ est la mesure algébrique de la projection de $\overrightarrow{y}$ sur la direction de $\overrightarrow{x}$.</div>

◆Théorème 3.5Inégalité triangulaire de Minkowski

Pour tous $x,y\in E$ :

$$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert .$$

L'égalité a lieu si et seulement si $x=0$, $y=0$ ou $x$ et $y$ sont positivement colinéaires ($y=\lambda x$ avec $\lambda \ge 0$).

L'inégalité triangulaire est la conséquence de Cauchy-Schwarz, et non l'inverse : en développant $\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2$ puis en majorant le terme du milieu par $2\Vert x\Vert \Vert y\Vert$, on obtient $(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert {)}^2$. Le cas d'égalité y gagne d'ailleurs une condition de plus : la colinéarité doit être positive, puisque la majoration $⟨x,y⟩\le |⟨x,y⟩|$ intervient en chemin.

3.3 Orthogonalité, Familles Orthonormées et Gram-Schmidt

Une base orthonormée est à un espace euclidien ce qu'une base de vecteurs propres est à un endomorphisme diagonalisable : le repère dans lequel tout devient simple. Les coordonnées d'un vecteur s'y lisent par un produit scalaire, $x={\sum }_i⟨x,e_i⟩e_i$, sa norme par le théorème de Pythagore, et les calculs de projection qui occupent la section suivante s'y réduisent à des sommes.

L'intérêt du procédé de Gram-Schmidt est qu'il garantit qu'une telle base existe toujours, et qu'il la construit effectivement à partir de n'importe quelle base de départ.

3.3.1 Orthogonalité et Théorème de Pythagore

Définition 3.6Orthogonalité

Deux vecteurs $x,y\in E$ sont orthogonaux, noté $x\perp y$, si $⟨x,y⟩=0$. Une famille $(e_1,\dots ,e_p)$ est dite orthonormée (ou orthonormale) si :

$$⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{i,j}=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }i=j\\ 0& \text{si }i\ne j.\end{array}$$

Toute famille orthonormée ne contenant pas le vecteur nul est libre.

Définition 3.7Familles orthogonales, sous-espaces orthogonaux, orthogonal

Soit $E$ un espace préhilbertien réel.

• Une famille $(x_1,\dots ,x_p)$ est orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux ; elle est orthonormée si de plus chacun est unitaire.
• Deux sous-espaces $F$ et $G$ sont orthogonaux si tout vecteur de $F$ est orthogonal à tout vecteur de $G$.
• L'orthogonal d'un sous-espace $F$ est

$$F^{\perp }=\left\{x\in E|\forall y\in F,⟨x,y⟩=0\right\}.$$

C'est un sous-espace vectoriel de $E$, et il suffit de tester l'orthogonalité sur une famille génératrice de $F$ — ce qui, en pratique, ramène le calcul de $F^{\perp }$ à la résolution d'un système linéaire.

Proposition 3.8Liberté d'une famille orthogonale

Toute famille orthogonale finie de vecteurs non nuls est libre.

La précision « ne contenant pas le vecteur nul » est en fait superflue ici : une famille orthonormée ne peut pas contenir $0$, puisque $⟨e_i,e_i⟩=1\ne 0$. Elle serait en revanche indispensable pour une famille seulement orthogonale, où le vecteur nul est orthogonal à tout le monde et détruit la liberté de la famille.

La démonstration de la liberté mérite d'être connue tant elle est courte : si ${\sum }_i{\lambda }_i{e}_i=0$, il suffit de prendre le produit scalaire avec $e_j$ pour obtenir ${\lambda }_j=0$, tous les autres termes disparaissant par orthogonalité. C'est le même geste qui donne les coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée.

◆Théorème 3.9Théorème de Pythagore

Pour tous vecteurs $x_1,\dots ,x_p\in E$ deux à deux orthogonaux :

$${\Vert \sum _{i=1}^p{x}_i\Vert }^2=\sum _{i=1}^p\Vert x_i{\Vert }^2.$$

ImportantLa réciproque n'est vraie qu'à deux vecteurs

Pour $p=2$, l'égalité $\Vert x_1+x_2{\Vert }^2=\Vert x_1{\Vert }^2+\Vert x_2{\Vert }^2$ équivaut à l'orthogonalité, puisque le développement laisse exactement $2⟨x_1,x_2⟩$. Au-delà, elle n'équivaut plus qu'à ${\sum }_{i<j}⟨x_i,x_j⟩=0$, ce qui n'impose pas que chaque terme soit nul : trois vecteurs peuvent vérifier Pythagore sans être deux à deux orthogonaux, les produits scalaires se compensant.

3.3.2 Procédé d'Orthonormalisation de Gram-Schmidt

◆Théorème 3.10Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Soit $(v_1,\dots ,v_p)$ une famille libre d'un espace préhilbertien $E$. Il existe une unique famille orthonormée $(e_1,\dots ,e_p)$ vérifiant :

• Pour tout $k\in [[1,p]]$, $\mathrm{Vect}(e_1,\dots ,e_k)=\mathrm{Vect}(v_1,\dots ,v_k)$.
• Pour tout $k\in [[1,p]]$, $⟨e_k,v_k⟩>0$.

L'algorithme de calcul itératif s'écrit :

$$\{\begin{array}{ll}{w}_1=v_1,& e_1=\frac{w_1}{\Vert w_1\Vert }\\ w_k=v_k-{\sum }_{j=1}^{k-1}⟨v_k,e_j⟩e_j,& e_k=\frac{w_k}{\Vert w_k\Vert }(\text{pour }k=2,\dots ,p).\end{array}$$

Chaque étape se lit en deux temps : on retranche à $v_k$ sa projection sur l'espace déjà construit — ce qui reste lui est orthogonal par construction —, puis on norme. Le vecteur $w_k$ n'est jamais nul, précisément parce que la famille de départ est libre : s'il l'était, $v_k$ appartiendrait à $\mathrm{Vect}(v_1,\dots ,v_{k-1})$.

Méthode : Orthonormaliser en pratique

• Repousser la normalisation. Calculer d'abord les $w_k$ orthogonaux entre eux, quitte à ne normer qu'à la fin : cela évite de traîner des racines carrées dans tous les produits scalaires intermédiaires.
• Exploiter les symétries. Sur un espace de fonctions muni de ${\int }_{-a}^a$, deux fonctions de parités contraires sont automatiquement orthogonales, ce qui annule la moitié des calculs sans en faire aucun.
• Vérifier au fur et à mesure que $⟨w_k,e_j⟩=0$ pour $j<k$ : une erreur de calcul se voit immédiatement, alors qu'elle se propage silencieusement jusqu'au bout sinon.

Exemple classique. Appliqué à $(1,t,t^2,\dots )$ sur $\mathcal{C}([-1,1],\mathbb{R})$ muni de ${\int }_{-1}^{1}fg$, le procédé produit — à un facteur près — les polynômes de Legendre, base orthonormée dans laquelle l'exercice de fin de chapitre calcule une distance sans avoir un seul système à résoudre.

Figure : La deuxième étape de Gram-Schmidt. On retranche à ${\overrightarrow{v}}_2$ sa composante

selon ${\overrightarrow{e}}_1$ : ce qui reste, ${\overrightarrow{w}}_2$, est orthogonal à ${\overrightarrow{e}}_1$ par construction, et il ne reste qu'à le normer. Les vecteurs ${\overrightarrow{e}}_1$ et ${\overrightarrow{e}}_2$ sont dessinés à leur vraie longueur, $1$, alors que ${\overrightarrow{v}}_1$ a pour norme $3$ — c'est la normalisation qui fait la différence, et elle est la seule étape où l'on divise.</div>

3.3.3 Bases orthonormées

Toute la commodité des bases orthonormées tient dans le fait que les coordonnées s'y lisent par un produit scalaire, sans résoudre le moindre système.

◆Théorème 3.11Coordonnées et expressions dans une base orthonormée

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$ une base orthonormée de $E$. Alors, pour tous $x,y\in E$ :

$$x=\sum _{i=1}^n⟨x,e_i⟩e_i,⟨x,y⟩=\sum _{i=1}^n⟨x,e_i⟩⟨y,e_i⟩,\Vert x{\Vert }^2=\sum _{i=1}^n⟨x,e_i{⟩}^2.$$

Autrement dit, dans une base orthonormée, le produit scalaire et la norme s'expriment comme dans ${\mathbb{R}}^n$ muni du produit scalaire canonique.

Démonstration

Écrivons $x={\sum }_j{\lambda }_j{e}_j$ dans la base $\mathcal{B}$. En prenant le produit scalaire avec $e_i$, tous les termes disparaissent sauf un, par orthonormalité : $⟨x,e_i⟩={\lambda }_i$. Les deux autres formules s'en déduisent en développant par bilinéarité.

Tout espace euclidien possède une base orthonormée : il suffit d'appliquer le procédé de Gram-Schmidt à une base quelconque. C'est ce qui permet de ramener toute question euclidienne à un calcul dans ${\mathbb{R}}^n$, et c'est aussi pourquoi les énoncés de concours commencent si souvent par « on munit $E$ d'une base orthonormée ».

3.4 Projection Orthogonale et Meilleure Approximation

Cette section est l'aboutissement du chapitre, et son énoncé central tient en une phrase : la meilleure approximation d'un vecteur par un sous-espace est sa projection orthogonale. C'est ce théorème qui fait passer les espaces euclidiens du statut de curiosité algébrique à celui d'outil de calcul : approcher une fonction par un polynôme de degré donné, un signal par ses premières harmoniques, un vecteur par sa composante dans un sous-espace — tous ces problèmes sont le même problème, écrit dans des espaces différents.

◆Théorème 3.12Théorème de projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace préhilbertien $E$.

• $E=F\oplus F^{\perp }$.
• Pour tout $x\in E$, il existe un unique vecteur $p_F(x)\in F$ tel que $x-p_F(x)\in F^{\perp }$.
• Si $(e_1,\dots ,e_p)$ est une base orthonormée de $F$, l'expression explicite de la projection orthogonale est :

$$p_F(x)=\sum _{k=1}^p⟨x,e_k⟩e_k.$$

Si $E$ est de dimension finie $n$, on a de plus $\dim F^{\perp }=n-\dim F$ ; en particulier, l'orthogonal d'un hyperplan est une droite, dont tout vecteur directeur non nul est appelé vecteur normal à cet hyperplan.

• Relation de Pythagore : $\Vert x{\Vert }^2=\Vert p_F(x){\Vert }^2+\Vert x-p_F(x){\Vert }^2$, les deux termes de la décomposition $x=p_F(x)+(x-p_F(x))$ étant orthogonaux.

Le second terme étant positif, cette relation montre au passage que $\Vert p_F(x)\Vert \le \Vert x\Vert$ : projeter ne peut qu'raccourcir un vecteur, ce qui est géométriquement évident et se révèle constamment utile.

La même égalité donne le calcul pratique de la distance, celui qu'on utilise dans tous les exercices :

$$d(x,F{)}^2=\Vert x{\Vert }^2-\Vert p_F(x){\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-\sum _{k=1}^p⟨x,e_k{⟩}^2.$$

Il est presque toujours plus rapide que le calcul direct de $\Vert x-p_F(x){\Vert }^2$, qui demande de développer un carré.

Méthode : Calculer un projeté orthogonal

Deux voies, à choisir selon ce dont on dispose.

• Si l'on a une base orthonormée $(e_1,\dots ,e_p)$ de $F$, la formule $p_F(x)={\sum }_k⟨x,e_k⟩e_k$ donne le résultat sans calcul supplémentaire. C'est la voie la plus courte, et elle justifie qu'on orthonormalise d'abord.
• Si l'on n'a qu'une famille génératrice $(v_1,\dots ,v_p)$ de $F$, écrire $p_F(x)={\sum }_k{\alpha }_k{v}_k$ et traduire l'orthogonalité de $x-p_F(x)$ aux $v_j$ :

$$\forall j,⟨x-p_F(x),v_j⟩=0⟺\forall j,\sum _{k=1}^p{\alpha }_k⟨v_k,v_j⟩=⟨x,v_j⟩.$$

C'est un système linéaire de $p$ équations aux $p$ inconnues ${\alpha }_k$. Il est souvent plus rapide que d'orthonormaliser, surtout si $p$ vaut $1$ ou $2$.

Contrôle : $x-p_F(x)$ doit être orthogonal à chaque vecteur de la famille génératrice. Une vérification, et l'erreur de calcul se voit.

◆Théorème 3.13Théorème de la meilleure approximation euclidienne

Soit $F$ un sous-espace de dimension finie de $E$ et $x\in E$. La distance de $x$ à $F$ est atteinte en l'unique point $p_F(x)$ :

$$d(x,F)=\underset{y\in F}{\inf }\Vert x-y\Vert =\Vert x-p_F(x)\Vert .$$

Démonstration

Soit $y\in F$. Décomposons $x-y=(x-p_F(x))+(p_F(x)-y)$. Le premier terme appartient à $F^{\perp }$, le second à $F$ : ils sont orthogonaux, et Pythagore donne

$$\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert x-p_F(x){\Vert }^2+\Vert p_F(x)-y{\Vert }^2\ge \Vert x-p_F(x){\Vert }^2,$$

avec égalité si et seulement si $p_F(x)-y=0$, c'est-à-dire $y=p_F(x)$. Le minimum est donc atteint, et en un unique point.

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