Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries

Cours · mathématiques (PT), chapitre 4 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une isométrie conserve les longueurs : un triangle et son image par une réflexion.

4.1 Introduction et vue d'ensemble

L'étude des endomorphismes des espaces vectoriels euclidiens constitue le sommet de l'algèbre bilinéaire en CPGE PT. Elle s'articule autour de deux classes d'opérateurs fondamentales :

Les matrices symétriques réelles, gouvernées par le théorème spectral, qui garantit qu'on peut les diagonaliser dans une base orthonormée, à valeurs propres toutes réelles. C'est ce théorème qui fonde la mécanique des solides — axes principaux d'inertie, directions principales du tenseur des contraintes en résistance des matériaux.
Les isométries vectorielles (ou automorphismes orthogonaux), qui forment le groupe orthogonal $O (E)$ et préservent la structure métrique (longueurs, angles, volumes). Elles modélisent les déplacements et les changements de repères en cinématique et en robotique spatiale.

Figure : Ce que dit le théorème spectral. Une matrice symétrique réelle possède une base

orthonormée de vecteurs propres : ses axes principaux sont perpendiculaires, ce qu'aucune matrice diagonalisable quelconque ne garantit. C'est cette orthogonalité qui donne un sens aux « axes principaux d'inertie » d'un solide et aux « directions

principales » d'un tenseur de contraintes.

4.2 Matrices symétriques réelles et théorème spectral

Une matrice quelconque n'est en général pas diagonalisable, et rien n'assure, quand elle l'est, que la base de vecteurs propres soit agréable. Pour une matrice symétrique réelle, tout se passe au mieux : la diagonalisabilité est automatique — aucune hypothèse à vérifier, aucun calcul de multiplicités — et la matrice de passage peut être choisie orthogonale. C'est le théorème spectral, et c'est le résultat le plus fort du programme d'algèbre.

Définition 4.1Matrices symétriques réelles

Une matrice $A \in M_{n} (R)$ est symétrique si $A^{⊤} = A$ . L'ensemble des matrices symétriques réelles d'ordre $n$ est noté $S_{n} (R)$ ; c'est un sous-espace vectoriel de $M_{n} (R)$ , de dimension $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ .

Il n'est pas stable par produit : $(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤} = B A$ , de sorte que $A B$ n'est symétrique que si $A$ et $B$ commutent.

Proposition 4.2Orthogonalité des sous-espaces propres

Soit $A \in S_{n} (R)$ . Les sous-espaces propres de $A$ associés à des valeurs propres distinctes sont deux à deux orthogonaux pour le produit scalaire canonique de $R^{n}$ .

Démonstration

Soient $λ \neq = μ$ deux valeurs propres, $X \in E_{λ}$ et $Y \in E_{μ}$ . Alors

$λ X^{⊤} Y = (A X)^{⊤} Y = X^{⊤} A^{⊤} Y = X^{⊤} A Y = μ X^{⊤} Y,$

en utilisant $A^{⊤} = A$ . Comme $λ \neq = μ$ , il vient $X^{⊤} Y = 0$ , c'est-à-dire $⟨ X, Y ⟩ = 0$ .

◆Théorème 4.3Théorème spectral

Pour toute matrice symétrique réelle $A \in S_{n} (R)$ , il existe une matrice orthogonale $P \in O_{n} (R)$ et une matrice diagonale réelle $D$ telles que

$A = P D P^{- 1} = P D P^{⊤} .$

On dit que $A$ est orthogonalement diagonalisable. En particulier, toutes les valeurs propres de $A$ sont réelles, et les colonnes de $P$ forment une base orthonormée de $R^{n}$ faite de vecteurs propres de $A$ .

ImportantUne équivalence, et deux frontières

La réciproque est vraie et sert souvent de contrôle : si $A = P D P^{⊤}$ avec $P$ orthogonale et $D$ diagonale, alors $A^{⊤} = P D^{⊤} P^{⊤} = A$ , donc $A$ est symétrique. Une matrice non symétrique ne peut donc pas être orthogonalement diagonalisable, quoi qu'en dise un calcul.

L'hypothèse réelle est tout aussi essentielle : la matrice complexe $(1 i i - 1)$ est symétrique, de carré nul et non nulle, donc non diagonalisable.

Enfin, quand une valeur propre est multiple, la base orthonormée ne tombe pas toute seule : il faut orthonormaliser à l'intérieur de son sous-espace propre, par Gram-Schmidt. Entre sous-espaces propres différents, l'orthogonalité est acquise par la proposition précédente.

Exercices du chapitre

Vérifier une matrice orthogonale corrigé
Reconnaître les isométries du plan corrigé
Matrice d'une réflexion corrigé
Une rotation de l'espace corrigé
Reconnaître une matrice orthogonale du plan corrigé
Matrices de permutation et signature corrigé

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