Séries Numériques

Cours · mathématiques (PT), chapitre 5 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La série géométrique 1/2 + 1/4 + 1/8 + … remplit peu à peu un carré d'aire 1.

5.1 Introduction et vue d'ensemble

L'analyse des séries numériques $\sum u_{n}$ est la pierre angulaire de l'analyse asymptotique, du calcul scientifique et de la physique discrète. Elle permet d'attribuer une valeur finie rigoureuse à une somme infinie de termes. En classe de PT, les outils développés — comparaison série-intégrale, règle de d'Alembert, critère des séries alternées et produit de Cauchy — sont le passage obligé pour aborder les séries de fonctions, les séries entières et l'approximation numérique des équations de la physique.

Figure : La comparaison série-intégrale, sur

f (t) = 1/ t

tracée à une échelle

verticale arbitraire. Sur chaque intervalle $[k, k + 1]$ , la décroissance de $f$ place l'aire $\int_{k}^{k + 1} f$ entre celle du rectangle de hauteur $f (k + 1)$ et celle du rectangle de hauteur $f (k)$ : c'est le double encadrement $\int_{k}^{k + 1} f \leq f (k) \leq \int_{k - 1}^{k} f$ du théorème. Sommer ces inégalités

transforme une série en une intégrale, dont on sait décider la nature.

5.2 Séries à Termes Positifs et Critères de Comparaison

Tout le chapitre repose sur une remarque élémentaire : pour une série à termes positifs, la suite des sommes partielles est croissante. Elle converge donc si et seulement si elle est majorée, et une série à termes positifs ne peut diverger que d'une seule façon — vers $+ \infty$ . Cette dichotomie, qui n'existe pas pour les séries de signe quelconque, est ce qui rend possible tous les critères de comparaison qui suivent : majorer une série positive par une série convergente suffit à conclure.

5.2.1 Convergence et restes

Définition 5.1Série numérique convergente

Soit $(u_{n})_{n \in N}$ une suite à valeurs dans $K = R$ ou $C$ . On appelle série numérique de terme général $u_{n}$ le couple formé par la suite $(u_{n})$ et sa suite des sommes partielles $(S_{n})_{n \in N}$ définie par :

$S_{n} = k = 0 \sum n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} .$

La série $\sum u_{n}$ est dite convergente si la suite $(S_{n})_{n \in N}$ admet une limite finie $S \in K$ quand $n \to + \infty$ . Dans ce cas, $S$ est appelée la somme de la série et l'on note :

$S = n = 0 \sum + \infty u_{n} = n \to + \infty lim k = 0 \sum n u_{k} .$

Pour une série convergente, on appelle reste d'ordre $n$ la quantité :

$R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k} = S - S_{n} n \to + \infty 0.$

Proposition 5.2Condition nécessaire de convergence

Si la série $\sum u_{n}$ converge, alors son terme général tend vers zéro : $lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ . Si $(u_{n})$ ne tend pas vers 0, la série est dite grossièrement divergente.

ImportantLa réciproque est fausse, et c'est tout le sujet du chapitre

$u_{n} \to 0$ n'entraîne pas la convergence de $\sum u_{n}$ : la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ en est le contre-exemple universel. La condition n'est donc utile que dans un seul sens — pour éliminer une série dont le terme général ne tend pas vers $0$ , ce qui se voit immédiatement et évite tout calcul.

Il faut aussi distinguer la série $\sum u_{n}$ , qui est un objet formé de la suite et de ses sommes partielles, de sa somme $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ , qui est un nombre et n'existe qu'en cas de convergence. Écrire « $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ » avant d'avoir prouvé la convergence est une faute de raisonnement, pas de notation.

5.2.2 Les trois critères de comparaison

◆Théorème 5.3Comparaison de séries à termes positifs

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ deux séries à termes positifs.

Majoration : si $u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang, alors la convergence de $\sum v_{n}$ entraîne celle de $\sum u_{n}$ , et la divergence de $\sum u_{n}$ entraîne celle de $\sum v_{n}$ .
Négligeabilité : si $u_{n} = o (v_{n})$ , alors la convergence de $\sum v_{n}$ entraîne celle de $\sum u_{n}$ .
Équivalence : si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors les deux séries sont de même nature.

ImportantTrois pièges dans ce seul théorème

La positivité est indispensable. Le critère d'équivalence est faux sans elle : $u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ et $v_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} + \frac{1}{n}$ sont équivalents, la première série converge par le critère spécial et la seconde diverge, puisqu'elle est la somme d'une série convergente et de la série harmonique.

L'équivalence ne se transporte pas aux sommes. $u_{n} \sim v_{n}$ ne donne pas $\sum_{k \leq n} u_{k} \sim \sum_{k \leq n} v_{k}$ en général — c'est vrai en cas de divergence, et c'est vrai pour les restes en cas de convergence, mais ce sont deux énoncés à part, ceux du théorème de comparaison série-intégrale.

« À partir d'un certain rang » suffit toujours. La nature d'une série ne dépend pas de ses premiers termes : en modifier un nombre fini change la somme, jamais la convergence.

Exercices du chapitre

La règle de d'Alembert en action corrigé
Une série de matrices corrigé
Estimer un reste corrigé
Sommes partielles d'une série divergente corrigé
Équivalent de reste par sommation corrigé
Cesàro et ses retombées corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre