Séries Numériques

Cours complet · mathématiques (PT), chapitre 5 · CPGE PT (2e année)

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5.1 Introduction et vue d'ensemble

L'analyse des séries numériques $\sum u_{n}$ est la pierre angulaire de l'analyse asymptotique, du calcul scientifique et de la physique discrète. Elle permet d'attribuer une valeur finie rigoureuse à une somme infinie de termes. En classe de PT, les outils développés — comparaison série-intégrale, règle de d'Alembert, critère des séries alternées et produit de Cauchy — sont le passage obligé pour aborder les séries de fonctions, les séries entières et l'approximation numérique des équations de la physique.

Figure : La comparaison série-intégrale, sur

f (t) = 1/ t

tracée à une échelle

verticale arbitraire. Sur chaque intervalle $[k, k + 1]$ , la décroissance de $f$ place l'aire $\int_{k}^{k + 1} f$ entre celle du rectangle de hauteur $f (k + 1)$ et celle du rectangle de hauteur $f (k)$ : c'est le double encadrement $\int_{k}^{k + 1} f \leq f (k) \leq \int_{k - 1}^{k} f$ du théorème. Sommer ces inégalités transforme une série en une intégrale, dont on sait décider la nature.</div>

5.2 Séries à Termes Positifs et Critères de Comparaison

Tout le chapitre repose sur une remarque élémentaire : pour une série à termes positifs, la suite des sommes partielles est croissante. Elle converge donc si et seulement si elle est majorée, et une série à termes positifs ne peut diverger que d'une seule façon — vers $+ \infty$ . Cette dichotomie, qui n'existe pas pour les séries de signe quelconque, est ce qui rend possible tous les critères de comparaison qui suivent : majorer une série positive par une série convergente suffit à conclure.

5.2.1 Convergence et restes

Définition 5.1Série numérique convergente

Soit $(u_{n})_{n \in N}$ une suite à valeurs dans $K = R$ ou $C$ . On appelle série numérique de terme général $u_{n}$ le couple formé par la suite $(u_{n})$ et sa suite des sommes partielles $(S_{n})_{n \in N}$ définie par :

$S_{n} = k = 0 \sum n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} .$

La série $\sum u_{n}$ est dite convergente si la suite $(S_{n})_{n \in N}$ admet une limite finie $S \in K$ quand $n \to + \infty$ . Dans ce cas, $S$ est appelée la somme de la série et l'on note :

$S = n = 0 \sum + \infty u_{n} = n \to + \infty lim k = 0 \sum n u_{k} .$

Pour une série convergente, on appelle reste d'ordre $n$ la quantité :

$R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k} = S - S_{n} n \to + \infty 0.$

Proposition 5.2Condition nécessaire de convergence

Si la série $\sum u_{n}$ converge, alors son terme général tend vers zéro : $lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ . Si $(u_{n})$ ne tend pas vers 0, la série est dite grossièrement divergente.

ImportantLa réciproque est fausse, et c'est tout le sujet du chapitre

$u_{n} \to 0$ n'entraîne pas la convergence de $\sum u_{n}$ : la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ en est le contre-exemple universel. La condition n'est donc utile que dans un seul sens — pour éliminer une série dont le terme général ne tend pas vers $0$ , ce qui se voit immédiatement et évite tout calcul.

Il faut aussi distinguer la série $\sum u_{n}$ , qui est un objet formé de la suite et de ses sommes partielles, de sa somme $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ , qui est un nombre et n'existe qu'en cas de convergence. Écrire « $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ » avant d'avoir prouvé la convergence est une faute de raisonnement, pas de notation.

5.2.2 Les trois critères de comparaison

◆Théorème 5.3Comparaison de séries à termes positifs

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ deux séries à termes positifs.

Majoration : si $u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang, alors la convergence de $\sum v_{n}$ entraîne celle de $\sum u_{n}$ , et la divergence de $\sum u_{n}$ entraîne celle de $\sum v_{n}$ .
Négligeabilité : si $u_{n} = o (v_{n})$ , alors la convergence de $\sum v_{n}$ entraîne celle de $\sum u_{n}$ .
Équivalence : si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors les deux séries sont de même nature.

ImportantTrois pièges dans ce seul théorème

La positivité est indispensable. Le critère d'équivalence est faux sans elle : $u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ et $v_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} + \frac{1}{n}$ sont équivalents, la première série converge par le critère spécial et la seconde diverge, puisqu'elle est la somme d'une série convergente et de la série harmonique.

L'équivalence ne se transporte pas aux sommes. $u_{n} \sim v_{n}$ ne donne pas $\sum_{k \leq n} u_{k} \sim \sum_{k \leq n} v_{k}$ en général — c'est vrai en cas de divergence, et c'est vrai pour les restes en cas de convergence, mais ce sont deux énoncés à part, ceux du théorème de comparaison série-intégrale.

« À partir d'un certain rang » suffit toujours. La nature d'une série ne dépend pas de ses premiers termes : en modifier un nombre fini change la somme, jamais la convergence.

5.2.3 Comparaison série-intégrale et Séries de Riemann

◆Théorème 5.4Théorème de comparaison série-intégrale

Soit $f : [n_{0}, + \infty [\to R_{+}$ une fonction continue par morceaux, positive et décroissante. Pour tout entier $k \geq n_{0} + 1$ :

$\int_{k}^{k + 1} f (t) d t \leq f (k) \leq \int_{k - 1}^{k} f (t) d t .$

Par sommation :

La série $\sum f (n)$ et l'intégrale impropre $\int_{n_{0}}^{+ \infty} f (t) d t$ sont de même nature (convergentes ou divergentes simultanément).
En cas de divergence ( $\int^{+ \infty} f = + \infty$ ) : $\sum_{k = n_{0}}^{n} f (k) \sim_{+ \infty} \int_{n_{0}}^{n} f (t) d t$ .
En cas de convergence : $\sum_{k = n + 1}^{+ \infty} f (k) \sim_{+ \infty} \int_{n}^{+ \infty} f (t) d t$ .

◆Théorème 5.5Séries de référence de Riemann

La série de Riemann $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{α}}$ converge si et seulement si $α > 1$ .

C'est la série de référence du chapitre, et elle sert presque toujours par l'intermédiaire de l'équivalence : dès qu'on sait que $u_{n} \sim \frac{C}{n ^{α}}$ avec $C > 0$ , la nature de $\sum u_{n}$ est décidée. La démonstration est l'application directe de la comparaison série-intégrale à $f (t) = t^{- α}$ , dont la primitive est connue.

Méthode : Déterminer la nature d'une série

Regarder le terme général. S'il ne tend pas vers $0$ , la série diverge grossièrement et tout est fini.
Déterminer le signe. S'il est constant à partir d'un certain rang, les critères de comparaison s'appliquent. Sinon, envisager la valeur absolue — l'absolue convergence — ou le critère spécial des séries alternées.
Chercher un équivalent simple de $u_{n}$ , en général de la forme $\frac{C}{n ^{α}}$ , par développement limité. C'est la voie la plus courte dans la majorité des sujets.
Si le terme général contient des factorielles ou des puissances $n$ -ièmes, passer par la règle de d'Alembert, qui les simplifie par quotient.
Si $u_{n} = f (n)$ avec $f$ positive décroissante, utiliser la comparaison série-intégrale, qui donne en outre l'équivalent des restes ou des sommes partielles quand on le demande.

5.2.4 Règle de d'Alembert pour les séries à termes strictement positifs

◆Théorème 5.6Règle de d'Alembert

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes strictement positifs ( $u_{n} > 0$ ) telle que :

$n \to + \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = ℓ \in [0, + \infty] .$

Si $ℓ < 1$ : la série $\sum u_{n}$ converge.
Si $ℓ > 1$ : $lim u_{n} = + \infty$ , la série $\sum u_{n}$ diverge grossièrement.
Si $ℓ = 1$ : cas douteux, la règle ne permet pas de conclure (utiliser un équivalent ou Riemann).

Le cas douteux n'est pas un défaut de l'énoncé mais une limite de fond : toutes les séries de Riemann vérifient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \to 1$ , et pourtant elles changent de nature en $α = 1$ . La règle est donc aveugle exactement là où se joue la frontière, et c'est pourquoi elle ne sert que lorsque le quotient a une limite différente de $1$ — en pratique, devant des factorielles, des $a^{n}$ ou des $n^{n}$ , qui se simplifient en quotient et pas en équivalent.

5.3 Séries Alternées et Critère Spécial (TSSA)

Jusqu'ici, tous les critères exigeaient un signe constant. Les séries de signe variable demandent d'autres outils, et le programme en retient deux : le critère spécial des séries alternées, objet de cette section, et l'absolue convergence, qui ramène au cas positif et fait l'objet de la suivante. L'ordre n'est pas indifférent : le critère spécial est précisément l'outil qui traite les séries où l'absolue convergence échoue.

Définition 5.7Série alternée

Une série réelle $\sum u_{n}$ est dite alternée si ses termes sont alternativement positifs et négatifs, c'est-à-dire s'il existe une suite positive $(a_{n})_{n \in N}$ ( $a_{n} \geq 0$ ) telle que :

$\forall n \in N, u_{n} = (- 1)^{n} a_{n} (ou u_{n} = (- 1)^{n + 1} a_{n}) .$

◆Théorème 5.8Théorème Spécial des Séries Alternées (TSSA)

Soit $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ une série alternée telle que :

La suite $(a_{n})_{n \in N}$ est décroissante à partir d'un certain rang.
$lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ .

Alors :

La série $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ est convergente.
Les suites des sommes partielles paires $(S_{2 n})$ et impaires $(S_{2 n + 1})$ sont adjacentes, encadrant la somme $S$ :

$\forall n \in N, S_{2 n + 1} \leq S \leq S_{2 n} .$

Le reste d'ordre $n$ , $R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} (- 1)^{k} a_{k}$ , vérifie la majoration fondamentale :

$∣ R_{n} ∣ \leq a_{n + 1},$

et $R_{n}$ a le même signe que son premier terme non sommé $u_{n + 1} = (- 1)^{n + 1} a_{n + 1}$ .

Les trois hypothèses forment un tout, et l'oubli de la décroissance est l'erreur la plus courante : la seule convergence de $a_{n}$ vers $0$ ne suffit pas. Un contre-exemple se construit en cassant la monotonie, par exemple avec $a_{2 k} = \frac{1}{k}$ et $a_{2 k + 1} = \frac{1}{k ^{2}}$ , où le terme général tend bien vers $0$ mais où la série alternée diverge.

Le troisième point est ce qui rend ce critère précieux en pratique : il donne une borne d'erreur immédiate. Pour approcher $ln 2 = \sum_{n \geq 1} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$ à $1 0^{- 3}$ près, il suffit de sommer jusqu'à $n = 1000$ , et l'on sait avant tout calcul que l'erreur commise est inférieure à $\frac{1}{1001}$ — et qu'elle est du signe du premier terme négligé.

Figure : Les sommes partielles d'une série alternée qui vérifie le critère spécial. Les

rangs pairs descendent, les rangs impairs montent, et les deux suites se referment sur la somme $S$ : $S_{1} \leq S_{3} \leq S_{5} \leq S \leq S_{4} \leq S_{2} \leq S_{0}$ . C'est cet encadrement qui donne la majoration du reste — la somme est toujours coincée entre deux sommes partielles consécutives, donc $∣ R_{n} ∣ \leq ∣ u_{n + 1} ∣ = a_{n + 1}$ —, et c'est ce qui fait de ce critère le seul du programme à fournir une borne d'erreur explicite.</div>

5.4 Séries absolument convergentes à termes réels ou complexes

Les critères de comparaison de la première section supposaient tous des termes positifs, et le critère spécial un signe strictement alterné. Reste le cas général : une suite $(u_{n})$ réelle de signe quelconque, ou complexe. C'est l'absolue convergence qui l'ouvre, en ramenant toute l'étude à celle de la série positive $\sum ∣ u_{n} ∣$ .

◆Théorème 5.9Convergence absolue

Si la série $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge, alors la série $\sum u_{n}$ converge, et

$n = 0 \sum + \infty u_{n} \leq n = 0 \sum + \infty ∣ u_{n} ∣.$

On dit alors que $\sum u_{n}$ est absolument convergente.

C'est le premier réflexe devant une série de signe quelconque, et il est très rentable : il ramène l'étude à celle d'une série positive, à laquelle tous les critères précédents s'appliquent. La réciproque est fausse, et le contre-exemple est justement celui de la section : $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ converge alors que $\sum \frac{1}{n}$ diverge. Une telle série est dite semi-convergente.

ImportantCe qu'une série semi-convergente interdit

La distinction n'est pas académique. Une série semi-convergente ne supporte ni le réarrangement de ses termes — le théorème de Riemann affirme qu'on peut lui faire prendre n'importe quelle valeur en changeant l'ordre —, ni le produit de Cauchy, ni l'interversion avec une autre sommation. Toutes les manipulations « évidentes » sur les sommes finies exigent l'absolue convergence pour passer à l'infini.

5.4.1 Comparaison de deux suites complexes

Le rendement de l'absolue convergence est qu'elle transporte les trois critères de comparaison hors du cadre positif où on les a démontrés. Les inégalités portent sur les modules, donc sur des réels positifs, et les énoncés s'appliquent tels quels.

◆Théorème 5.10Comparaison, cas complexe

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites complexes.

Si $∣ u_{n} ∣ \leq ∣ v_{n} ∣$ à partir d'un certain rang, alors la convergence absolue de $\sum v_{n}$ implique celle de $\sum u_{n}$ .
Si $u_{n} = O (v_{n})$ , alors la convergence absolue de $\sum v_{n}$ implique celle de $\sum u_{n}$ .
Si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors la convergence absolue de $\sum v_{n}$ équivaut à celle de $\sum u_{n}$ .

Le deuxième point contient le cas $u_{n} = o (v_{n})$ , qui n'est qu'une domination particulière. Le troisième s'énonce bien comme une équivalence, alors que son homologue positif affirmait l'égalité des natures : ici, l'équivalence des suites entraîne l'équivalence des convergences absolues, et rien de plus. Deux séries équivalentes peuvent parfaitement être toutes deux semi-convergentes, ou l'une convergente et l'autre divergente — l'équivalent ne dit rien de la convergence simple d'une série de signe variable.

ImportantL'équivalent ne se transporte pas aux séries de signe variable

La faute la plus coûteuse du chapitre consiste à écrire $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n} \sim \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} + \frac{1}{n}$ , à constater que la première converge par le critère spécial, et à en conclure que la seconde converge. Elle diverge : la différence est $\sum \frac{1}{n}$ . L'équivalence de deux suites ne conserve que l'absolue convergence, jamais la convergence simple.

5.4.2 Règle de d'Alembert, cas général

↳Corollaire 5.11Règle de d'Alembert pour une série complexe

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes complexes, non nuls à partir d'un certain rang, telle que

$n \to + \infty lim \frac{∣ u _{n + 1} ∣}{∣ u _{n} ∣} = ℓ \in [0, + \infty] .$

Si $ℓ < 1$ : la série $\sum u_{n}$ est absolument convergente, donc convergente.
Si $ℓ > 1$ : $∣ u_{n} ∣ \to + \infty$ , donc $\sum u_{n}$ diverge grossièrement.
Si $ℓ = 1$ : cas douteux.

C'est la règle de la section précédente appliquée à $\sum ∣ u_{n} ∣$ , série à termes strictement positifs. Sous cette forme, elle est l'outil qui fixera le rayon de convergence d'une série entière au chapitre suivant : le quotient $∣ a_{n + 1} z^{n + 1} ∣/∣ a_{n} z^{n} ∣$ vaut $\frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣} ∣ z ∣$ , et la condition $ℓ < 1$ se lit directement comme une condition sur $∣ z ∣$ .

Figure : L'absolue convergence est strictement plus forte que la convergence. Les deux

séries témoins ne diffèrent que par l'exposant : $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ est absolument convergente puisque $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ converge, tandis que $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ converge par le critère spécial sans que $\sum \frac{1}{n}$ converge. C'est dans la couronne — les séries semi-convergentes — que le réarrangement des termes, le produit de Cauchy et l'interversion de sommations cessent d'être licites.</div>

5.5 Produit de Cauchy de deux Séries

Le produit de deux séries pose une difficulté que la somme n'a pas : le produit des sommes fait apparaître tous les couples $(p, q)$ , et il faut décider dans quel ordre les sommer. Le produit de Cauchy fait un choix — regrouper par $p + q = n$ constant — et la question devient : ce choix change-t-il le résultat ?

Important

La convergence des deux séries ne suffit pas. Le contre-exemple classique est $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1}$ multipliée par elle-même : les deux séries convergent, leur produit de Cauchy diverge. Le programme retient le seul cas où les deux séries sont absolument convergentes ; sa démonstration n'est pas exigible.

Cette exigence n'est pas une précaution d'école : elle dit que le produit de Cauchy manipule un réarrangement d'une somme double, et qu'un réarrangement n'est licite que pour une famille sommable. C'est le même théorème que celui des séries doubles, vu sous un autre angle.

Définition 5.12Produit de Cauchy

Le produit de Cauchy des séries $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ est la série $\sum c_{n}$ définie par :

$c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k} = a_{0} b_{n} + a_{1} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b_{0} .$

Figure : Le produit de Cauchy regroupe par diagonales. Le produit

$(\sum a_{k}) (\sum b_{j})$ fait apparaître tous les couples $(k, j)$ du quart de plan ; le produit de Cauchy choisit de les sommer par diagonales $k + j = n$ constantes, ce qui donne $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ — ici la diagonale $n = 3$ . Un autre regroupement — par lignes, par colonnes, par carrés — donnerait une autre série, et c'est la sommabilité qui garantit qu'elles ont toutes la même somme.</div>

◆Théorème 5.13Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes

Si $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ sont deux séries absolument convergentes de sommes respectives $A$ et $B$ , alors leur série produit de Cauchy $\sum c_{n}$ est absolument convergente et :

$n = 0 \sum + \infty c_{n} = (n = 0 \sum + \infty a_{n}) \cdot (n = 0 \sum + \infty b_{n}) = A \cdot B .$

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