Séries Entières

Cours complet · mathématiques (PT), chapitre 6 · CPGE PT (2e année)

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6.1 Introduction et vue d'ensemble

Les séries entières $\sum a_{n} z^{n}$ (ou $\sum a_{n} x^{n}$ ) constituent un pont remarquable entre l'algèbre des polynômes et l'analyse complexe et réelle. Sur son disque ouvert de convergence ${z \in C ∣ ∣ z ∣ < R}$ , la somme d'une série entière bénéficie de la régularité maximale : elle est indéfiniment dérivable ( $C^{\infty}$ ), et se calcule par dérivation ou intégration terme à terme sans perte de rayon de convergence. Elles fournissent les solutions analytiques fondamentales des équations différentielles de la physique mathématique (Bessel, Legendre, Airy).

6.2 Rayon de convergence et Lemme d'Abel

◆Théorème 6.1Lemme d'Abel

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière. S'il existe $z_{0} \in C ∖ {0}$ tel que la suite $(a_{n} z_{0}^{n})_{n \in N}$ soit bornée, alors pour tout $z \in C$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ , la série numérique $\sum a_{n} z^{n}$ est absolument convergente.

Démonstration

Soit $M \geq 0$ tel que $\forall n \in N, ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \leq M$ . Pour tout $z \in C$ avec $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ :

$∣ a_{n} z^{n} ∣ = ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \frac{z}{z _{0}}^{n} \leq M q^{n} avec q = \frac{z}{z _{0}} < 1.$

Comme $q \in [0, 1 [$ , la série géométrique $\sum q^{n}$ converge, donc par comparaison de séries à termes positifs, $\sum a_{n} z^{n}$ est absolument convergente.

Définition 6.2Rayon de convergence

Le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} z^{n}$ est l'unique $R \in [0, + \infty]$ défini par :

$R = sup {r \geq 0 ∣ (a_{n} r^{n})_{n \in N} est born e ˊ e} .$

Pour tout $z \in C$ avec $∣ z ∣ < R$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
Pour tout $z \in C$ avec $∣ z ∣ > R$ , la suite $(a_{n} z^{n})$ n'est pas bornée et la série diverge grossièrement.

◆Théorème 6.3Règle de d'Alembert pour les séries entières

Si $lim_{n \to + \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = ℓ \in [0, + \infty]$ , alors le rayon de convergence vaut :

$R = \frac{1}{ℓ} (avec conventions 1/0 = + \infty et 1/ + \infty = 0) .$

Ce n'est pas un théorème nouveau : c'est la règle de d'Alembert du chapitre précédent, appliquée à la série numérique $\sum ∣ a_{n} z^{n} ∣$ . Le quotient de deux termes consécutifs vaut $\frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣} ∣ z ∣$ , il tend vers $ℓ ∣ z ∣$ , et la condition $ℓ ∣ z ∣ < 1$ se lit directement $∣ z ∣ < 1/ ℓ$ . La limitation est la même : la règle est muette dès que le quotient n'a pas de limite — ce qui arrive dès qu'une série entière a des coefficients nuls, comme $\sum \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!}$ , où il faut poser $u = x^{2}$ avant de l'appliquer.

6.2.1 Comparer deux rayons de convergence

Calculer un rayon directement par la définition est rarement praticable. On le compare presque toujours à celui d'une série connue, et les trois critères sont ceux du chapitre précédent, transportés aux coefficients.

Proposition 6.4Comparaison des rayons

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum b_{n} z^{n}$ deux séries entières, de rayons de convergence respectifs $R_{a}$ et $R_{b}$ .

Si $∣ a_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} ∣$ à partir d'un certain rang, alors $R_{a} \geq R_{b}$ .
Si $a_{n} = O (b_{n})$ , alors $R_{a} \geq R_{b}$ .
Si $a_{n} \sim b_{n}$ , alors $R_{a} = R_{b}$ .

Le deuxième point contient le cas $a_{n} = o (b_{n})$ . Le sens des inégalités est celui que l'intuition donne si l'on se souvient de ce que mesure le rayon : de plus petits coefficients laissent la série converger plus loin, donc majorer les coefficients revient à minorer le rayon.

iRemarqueLe rayon ne voit pas les facteurs polynomiaux

Pour tout $α \in R$ , la série $\sum n^{α} x^{n}$ a pour rayon $R = 1$ : si $r < 1$ , alors $n^{α} r^{n} \to 0$ par croissances comparées, donc la suite est bornée ; si $r > 1$ , elle n'est pas bornée. Plus généralement, multiplier les coefficients par $n^{α}$ ne change pas le rayon :

$R (\sum n^{α} a_{n} z^{n}) = R (\sum a_{n} z^{n}) .$

C'est ce résultat, et lui seul, qui garantira que la série dérivée et la série primitivée ont le même rayon que la série de départ.

6.2.2 Somme et produit de Cauchy de deux séries entières

Proposition 6.5Somme et produit de Cauchy

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum b_{n} z^{n}$ de rayons $R_{a}$ et $R_{b}$ , et soit $ρ = min (R_{a}, R_{b})$ .

La série somme $\sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}$ a un rayon $R \geq ρ$ , avec égalité dès que $R_{a} \neq = R_{b}$ , et pour tout $∣ z ∣ < ρ$ :

$n = 0 \sum + \infty (a_{n} + b_{n}) z^{n} = n = 0 \sum + \infty a_{n} z^{n} + n = 0 \sum + \infty b_{n} z^{n} .$

Le produit de Cauchy $\sum c_{n} z^{n}$ , où $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ , a un rayon $R \geq ρ$ , et pour tout $∣ z ∣ < ρ$ :

$n = 0 \sum + \infty c_{n} z^{n} = (n = 0 \sum + \infty a_{n} z^{n}) (n = 0 \sum + \infty b_{n} z^{n}) .$

Le point 2 n'est que le théorème du produit de Cauchy du chapitre précédent : pour $∣ z ∣ < ρ$ , les deux séries numériques $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum b_{n} z^{n}$ sont absolument convergentes, ce qui est exactement l'hypothèse qu'il réclamait. C'est ici que se paie l'exigence d'absolue convergence, et c'est ici qu'elle est gratuite : à l'intérieur du disque, elle est automatique.

ImportantPourquoi

\geq

et non

=

Le rayon de la somme peut être strictement plus grand que $ρ$ . Prenons $a_{n} = 1$ et $b_{n} = - 1$ : les deux rayons valent $1$ , mais la série somme est nulle, de rayon $+ \infty$ . C'est la seule raison pour laquelle l'énoncé ne peut pas affirmer l'égalité — et elle disparaît dès que $R_{a} \neq = R_{b}$ , car alors aucune compensation n'est possible.

6.3 Propriétés de la somme d'une série entière

Une série entière fait bien mieux que converger : à l'intérieur de son disque, sa somme est de classe $C^{\infty}$ , et on la dérive ou l'intègre terme à terme sans précaution — le rayon de convergence ne bouge pas. Les démonstrations des trois théorèmes qui suivent ne sont pas exigibles ; ce qui rend leur énoncé plausible est le résultat de la section précédente : dériver multiplie les coefficients par $n$ , primitiver les divise par $n + 1$ , et un facteur polynomial ne change pas le rayon.

Important

La dérivation et l'intégration terme à terme se jouent sur l'ouvert. Au bord, la série peut converger en un point et diverger en un autre — le comportement y est à examiner point par point, et les théorèmes de dérivation ne s'y appliquent pas. La continuité, elle, résiste : c'est l'objet du théorème qui suit, et c'est la seule propriété de cette section qui traverse le bord.

◆Théorème 6.6Continuité de la somme

Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière de rayon $R > 0$ et de somme $f$ . Alors $f$ est continue sur son intervalle de définition, c'est-à-dire sur l'ensemble des $x$ réels en lesquels la série converge.

L'énoncé est plus fort qu'il n'en a l'air : l'intervalle de définition est $] - R, R [$ augmenté des bornes où la série converge. Si $\sum a_{n} R^{n}$ converge, la somme est donc continue en $R$ , et l'on peut y passer à la limite. C'est ce qui légitime l'égalité

$ln 2 = n = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n},$

obtenue en faisant tendre $x$ vers $1^{-}$ dans le développement de $ln (1 + x)$ , valable a priori sur $] - 1, 1 [$ seulement, alors que la série converge aussi en $x = 1$ par le critère spécial. Sa démonstration n'est pas exigible.

◆Théorème 6.7Primitivation terme à terme

Soit $f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ de rayon $R > 0$ . La série $\sum \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1}$ a le même rayon $R$ , et sa somme est la primitive de $f$ nulle en $0$ :

$\forall x \in] - R, R [, \int_{0}^{x} f (t) d t = n = 0 \sum + \infty \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1} .$

L'égalité des rayons, ici comme pour la dérivation, n'est rien d'autre que la remarque de la section précédente : diviser par $n + 1$ ou multiplier par $n$ , c'est multiplier les coefficients par un facteur polynomial, et le rayon ne le voit pas. Sa démonstration n'est pas exigible non plus.

◆Théorème 6.8Régularité

C^{\infty}

et Dérivation terme à terme

Soit $f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ de rayon de convergence $R > 0$ .

$f$ est de classe $C^{\infty}$ sur l'intervalle ouvert $] - R, R [$ .
La série dérivée $\sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1}$ a le même rayon de convergence $R$ , et $f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1}$ .
Les coefficients sont donnés par la formule de Taylor : $a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !}$ .

6.4 Développement en série entière au voisinage de 0

Les deux sections précédentes partaient d'une série pour arriver à une fonction. La question inverse est celle qui sert : une fonction étant donnée, est-elle la somme d'une série entière au voisinage de $0$ , et de laquelle ?

Définition 6.9Fonction développable en série entière

Soit $f$ définie sur un intervalle contenant $0$ et $r > 0$ . On dit que $f$ est développable en série entière sur $] - r, r [$ s'il existe une suite $(a_{n})$ telle que

$\forall x \in] - r, r [, f (x) = n = 0 \sum + \infty a_{n} x^{n},$

la série convergeant pour tout $x$ de cet intervalle.

Une telle fonction est nécessairement de classe $C^{\infty}$ sur $] - r, r [$ , par le théorème de dérivation terme à terme, et ses coefficients sont imposés.

◆Théorème 6.10Unicité du développement

Si $f$ est développable en série entière sur $] - r, r [$ , alors les coefficients sont uniques et donnés par

$a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} .$

La série $\sum \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n}$ s'appelle la série de Taylor de $f$ en $0$ .

L'unicité a une conséquence pratique qui dispense de presque tout calcul de dérivées : tout procédé qui produit une série entière égale à $f$ produit la bonne. On peut donc substituer, dériver, intégrer, multiplier des développements connus sans jamais justifier autrement que par l'unicité. Elle donne aussi la parité : si $f$ est paire, tous les $a_{2 n + 1}$ sont nuls, puisque $\sum a_{n} (- x)^{n}$ est un développement de $f$ et qu'il n'y en a qu'un.

Important

C^{\infty}

ne suffit pas

La série de Taylor d'une fonction de classe $C^{\infty}$ existe toujours, mais elle peut converger sans converger vers $f$ . Le contre-exemple est

$f (x) = e^{- 1/ x^{2}} (x \neq = 0), f (0) = 0 :$

cette fonction est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ et toutes ses dérivées sont nulles en $0$ . Sa série de Taylor est donc la série nulle, de rayon $+ \infty$ , et sa somme vaut $0$ partout — alors que $f$ ne s'annule qu'en $0$ . « Développable en série entière » est donc strictement plus fort que « de classe $C^{\infty}$ ».

Figure : Une fonction de classe

C^{\infty}

qui n'est pas développable en série

entière. Toutes les dérivées de $f$ en $0$ sont nulles — la courbe est plate à un ordre infini —, donc sa série de Taylor est la série nulle, de rayon $+ \infty$ . Elle converge partout, mais vers la fonction nulle, qui ne coïncide avec $f$ qu'au seul point $0$ . Écrire la série de Taylor d'une fonction $C^{\infty}$ ne prouve donc rien : il reste à montrer que le reste tend vers $0$ .</div>

◆Théorème 6.11Formule de Taylor avec reste intégral

Soit $f$ de classe $C^{n + 1}$ sur un intervalle contenant $0$ et $x$ . Alors

$f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !} x^{k} + \int_{0}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t .$

C'est l'outil qui répond à la question laissée ouverte par le contre-exemple : $f$ est développable en série entière sur $] - r, r [$ si et seulement si le reste intégral tend vers $0$ quand $n \to + \infty$ , pour chaque $x$ de l'intervalle. Pour $f = exp$ sur un segment $[- A, A]$ , par exemple, $∣ f^{(n + 1)} ∣ \leq e^{A}$ et le reste est majoré par $e^{A} \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$ , qui tend vers $0$ : c'est la démonstration du premier développement du formulaire.

Méthode : Développer une fonction en série entière par une équation différentielle

Lorsque ni la substitution ni la dérivation d'un développement connu n'aboutit, on passe par une équation différentielle linéaire dont $f$ est solution.

Trouver une équation différentielle linéaire simple vérifiée par $f$ , en général d'ordre $1$ ou $2$ , obtenue en dérivant $f$ une ou deux fois.
Chercher une solution développable en série entière $y = \sum a_{n} x^{n}$ de rayon $R > 0$ supposé non nul, et reporter dans l'équation en dérivant terme à terme.
Identifier les coefficients de chaque puissance de $x$ : l'équation devient une relation de récurrence sur $(a_{n})$ , que les conditions initiales $a_{0} = f (0)$ et $a_{1} = f^{'} (0)$ déterminent complètement.
Calculer le rayon de la série obtenue, puis conclure : la série et $f$ sont deux solutions du même problème de Cauchy, donc elles coïncident.

6.5 Formulaire des développements usuels

Ce formulaire n'est pas à retenir ligne par ligne : trois développements suffisent, et le reste s'en déduit. De $\frac{1}{1 - x} = \sum x^{n}$ sur $] - 1, 1 [$ viennent, par dérivation, intégration ou substitution, tous les développements rationnels, $ln (1 + x)$ et $arctan x$ . De $e^{x} = \sum \frac{x ^{n}}{n !}$ sur $R$ viennent $cos$ , $sin$ , $cosh$ et $sinh$ par séparation des parties paire et impaire. Le développement de $(1 + x)^{α}$ , enfin, est le seul qui demande un calcul propre, et il redonne les précédents pour $α$ entier.

iRemarque

Le rayon se lit sur la singularité la plus proche de l'origine dans le plan complexe, même pour une fonction réelle : c'est ce qui explique que $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ , qui n'a aucun problème sur $R$ , ait pourtant un rayon égal à $1$ — ses pôles sont en $\pm i$ . Sans ce détour par $C$ , le résultat paraît arbitraire.

Proposition 6.12DSE classiques au voisinage de 0

$e^{x} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{n !} (R = + \infty), cos x = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!} (R = + \infty), sin x = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} (R = + \infty)$
$ch x = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!} (R = + \infty), sh x = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} (R = + \infty)$
$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n} (R = 1), \frac{1}{1 + x} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} x^{n} (R = 1)$
$ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x ^{n}}{n} (R = 1), arctan x = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{2 n + 1} (R = 1)$
$(1 + x)^{α} = 1 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n} (R = 1 si α \in / N)$

6.6 Séries géométrique et exponentielle d'une variable complexe

Tout ce qui précède, à partir de la régularité, était réservé à la variable réelle : la dérivation terme à terme n'a de sens que sur un intervalle. Deux développements font exception et se transportent au plan complexe tout entier, et ce sont les deux dont on se sert.

Définition 6.13Développable en série entière sur un disque

Soit $f$ définie sur le disque ouvert $D (0, r) = {z \in C ∣ ∣ z ∣ < r}$ . On dit que $f$ est développable en série entière sur $D (0, r)$ s'il existe une suite $(a_{n})$ de complexes telle que $f (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} z^{n}$ pour tout $z \in D (0, r)$ .

Proposition 6.14Série géométrique complexe

Pour tout $z \in C$ tel que $∣ z ∣ < 1$ :

$\frac{1}{1 - z} = n = 0 \sum + \infty z^{n} .$

La fonction $z \mapsto \frac{1}{1 - z}$ est donc développable en série entière sur le disque unité ouvert, et le rayon vaut exactement $1$ .

Le rayon ne peut pas dépasser $1$ , et la raison est visible dans le plan : la fonction cesse d'être définie en $z = 1$ . C'est la formulation générale de la remarque faite plus haut à propos de $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ — le rayon est la distance de l'origine à la singularité la plus proche, et cette distance se mesure dans $C$ , même quand la fonction de départ est réelle.

Proposition 6.15Exponentielle complexe

Pour tout $z \in C$ :

$exp (z) = n = 0 \sum + \infty \frac{z ^{n}}{n !},$

série de rayon de convergence $R = + \infty$ .

Cette série définit l'exponentielle complexe, et sa propriété fondamentale se démontre par le produit de Cauchy établi au début du chapitre : pour $z$ et $z^{'}$ quelconques, les deux séries sont absolument convergentes, leur produit de Cauchy a pour terme général

$c_{n} = k = 0 \sum n \frac{z ^{k}}{k !} \frac{z ^{' n - k}}{( n - k )!} = \frac{1}{n !} k = 0 \sum n (k n) z^{k} z^{' n - k} = \frac{( z + z ^{'} ) ^{n}}{n !}$

par la formule du binôme, d'où $exp (z) exp (z^{'}) = exp (z + z^{'})$ . En séparant les parties paire et impaire de $exp (i θ)$ , on retrouve $exp (i θ) = cos θ + i sin θ$ : les développements de $cos$ et $sin$ ne sont pas trois formules indépendantes de celle de l'exponentielle, mais ses parties réelle et imaginaire.

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