Séries Entières

Cours · mathématiques (PT), chapitre 6 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le disque de convergence d'une série entière, de rayon R : convergence à l'intérieur, divergence à l'extérieur.

6.1 Introduction et vue d'ensemble

Les séries entières $\sum a_{n} z^{n}$ (ou $\sum a_{n} x^{n}$ ) constituent un pont remarquable entre l'algèbre des polynômes et l'analyse complexe et réelle. Sur son disque ouvert de convergence ${z \in C ∣ ∣ z ∣ < R}$ , la somme d'une série entière bénéficie de la régularité maximale : elle est indéfiniment dérivable ( $C^{\infty}$ ), et se calcule par dérivation ou intégration terme à terme sans perte de rayon de convergence. Elles fournissent les solutions analytiques fondamentales des équations différentielles de la physique mathématique (Bessel, Legendre, Airy).

6.2 Rayon de convergence et Lemme d'Abel

◆Théorème 6.1Lemme d'Abel

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière. S'il existe $z_{0} \in C ∖ {0}$ tel que la suite $(a_{n} z_{0}^{n})_{n \in N}$ soit bornée, alors pour tout $z \in C$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ , la série numérique $\sum a_{n} z^{n}$ est absolument convergente.

Démonstration

Soit $M \geq 0$ tel que $\forall n \in N, ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \leq M$ . Pour tout $z \in C$ avec $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ :

$∣ a_{n} z^{n} ∣ = ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \frac{z}{z _{0}}^{n} \leq M q^{n} avec q = \frac{z}{z _{0}} < 1.$

Comme $q \in [0, 1 [$ , la série géométrique $\sum q^{n}$ converge, donc par comparaison de séries à termes positifs, $\sum a_{n} z^{n}$ est absolument convergente.

Définition 6.2Rayon de convergence

Le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} z^{n}$ est l'unique $R \in [0, + \infty]$ défini par :

$R = sup {r \geq 0 ∣ (a_{n} r^{n})_{n \in N} est born e ˊ e} .$

Pour tout $z \in C$ avec $∣ z ∣ < R$ , $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument.
Pour tout $z \in C$ avec $∣ z ∣ > R$ , la suite $(a_{n} z^{n})$ n'est pas bornée et la série diverge grossièrement.

◆Théorème 6.3Règle de d'Alembert pour les séries entières

Si $lim_{n \to + \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = ℓ \in [0, + \infty]$ , alors le rayon de convergence vaut :

$R = \frac{1}{ℓ} (avec conventions 1/0 = + \infty et 1/ + \infty = 0) .$

Ce n'est pas un théorème nouveau : c'est la règle de d'Alembert du chapitre précédent, appliquée à la série numérique $\sum ∣ a_{n} z^{n} ∣$ . Le quotient de deux termes consécutifs vaut $\frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣} ∣ z ∣$ , il tend vers $ℓ ∣ z ∣$ , et la condition $ℓ ∣ z ∣ < 1$ se lit directement $∣ z ∣ < 1/ ℓ$ . La limitation est la même : la règle est muette dès que le quotient n'a pas de limite — ce qui arrive dès qu'une série entière a des coefficients nuls, comme $\sum \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!}$ , où il faut poser $u = x^{2}$ avant de l'appliquer.

6.2.1 Comparer deux rayons de convergence

Calculer un rayon directement par la définition est rarement praticable. On le compare presque toujours à celui d'une série connue, et les trois critères sont ceux du chapitre précédent, transportés aux coefficients.

Proposition 6.4Comparaison des rayons

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum b_{n} z^{n}$ deux séries entières, de rayons de convergence respectifs $R_{a}$ et $R_{b}$ .

Si $∣ a_{n} ∣ \leq ∣ b_{n} ∣$ à partir d'un certain rang, alors $R_{a} \geq R_{b}$ .
Si $a_{n} = O (b_{n})$ , alors $R_{a} \geq R_{b}$ .
Si $a_{n} \sim b_{n}$ , alors $R_{a} = R_{b}$ .

Le deuxième point contient le cas $a_{n} = o (b_{n})$ . Le sens des inégalités est celui que l'intuition donne si l'on se souvient de ce que mesure le rayon : de plus petits coefficients laissent la série converger plus loin, donc majorer les coefficients revient à minorer le rayon.

iRemarqueLe rayon ne voit pas les facteurs polynomiaux

Pour tout $α \in R$ , la série $\sum n^{α} x^{n}$ a pour rayon $R = 1$ : si $r < 1$ , alors $n^{α} r^{n} \to 0$ par croissances comparées, donc la suite est bornée ; si $r > 1$ , elle n'est pas bornée. Plus généralement, multiplier les coefficients par $n^{α}$ ne change pas le rayon :

$R (\sum n^{α} a_{n} z^{n}) = R (\sum a_{n} z^{n}) .$

C'est ce résultat, et lui seul, qui garantira que la série dérivée et la série primitivée ont le même rayon que la série de départ.

6.2.2 Somme et produit de Cauchy de deux séries entières

Proposition 6.5Somme et produit de Cauchy

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum b_{n} z^{n}$ de rayons $R_{a}$ et $R_{b}$ , et soit $ρ = min (R_{a}, R_{b})$ .

La série somme $\sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}$ a un rayon $R \geq ρ$ , avec égalité dès que $R_{a} \neq = R_{b}$ , et pour tout $∣ z ∣ < ρ$ :

$n = 0 \sum + \infty (a_{n} + b_{n}) z^{n} = n = 0 \sum + \infty a_{n} z^{n} + n = 0 \sum + \infty b_{n} z^{n} .$

Le produit de Cauchy $\sum c_{n} z^{n}$ , où $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ , a un rayon $R \geq ρ$ , et pour tout $∣ z ∣ < ρ$ :

$n = 0 \sum + \infty c_{n} z^{n} = (n = 0 \sum + \infty a_{n} z^{n}) (n = 0 \sum + \infty b_{n} z^{n}) .$

Exercices du chapitre

Calculs de rayons corrigé
Produit et dérivation de séries entières corrigé
Développer par une équation différentielle corrigé
La fonction génératrice de Fibonacci corrigé
Facteur polynomial et factorielle face au rayon corrigé
Somme de la série Σ n^2x^n pour |x|<1 corrigé

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