Exercices corrigés — Séries Entières (mathématiques (PT))
21 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
Niveau ★ — application directe du cours
- Calculs de rayons Exercice de TD
Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire
- Produit et dérivation de séries entières Exercice de TD
Niveau ★★★ — approfondissement
- Développer par une équation différentielle Exercice de TD
- La fonction génératrice de Fibonacci Exercice de TD
A. Rayon de convergence et sommes explicites
- Facteur polynomial et factorielle face au rayon Exercice de TD
- Somme de la série Σ n^2x^n pour |x|<1 Exercice de TD
- Une même série entière pour ch et cos Exercice de TD
- 2 et π/4 par le théorème d'Abel radial Exercice de TD
B. Unicité des coefficients : parité et zéros isolés
- Parité d'une somme et parité de ses exposants Exercice de TD
- Une série entière nulle en 1/k est nulle Exercice de TD
C. Méthodes de développement, et une fonction qui n'en admet pas
- Le rayon est dicté par le pôle le plus proche Exercice de TD
- Cosinus et sinus retrouvés par y''+y=0 Exercice de TD
- Développement de e^x cos x par le complexe 1+i Exercice de TD
- Série génératrice des nombres de Lucas Exercice de TD
- e^-1/x^2 : C^∞ mais non développable Exercice de TD
Z. Problèmes de concours corrigés
- Résolution de l'Équation Différentielle d'Airy Exercice d'entraînement
- Quatre rayons de convergence, quatre méthodes Application directe du cours
- Développer en série entière en 0, en précisant le rayon : 1/(2 - x)… Application directe du cours
A. Rayon de convergence et lemme d'Abel
- Rayons : d'Alembert, racine n-ième, et deux cas où ils échouent Application directe du cours
B. Opérations, produit de Cauchy et calculs de sommes
- (⋆) Calculer Σₙ₌₀^+∞ (n² + 1)/(n!) xⁿ pour tout x ∈ ℝ (écrire n² =… Application directe du cours
C. Développements en série entière
- (⋆) Développer en série entière en 0, en précisant chaque fois le… Application directe du cours