Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres

Cours · mathématiques (PT), chapitre 7 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'aire sous la courbe de 1/x² à partir de 1 reste finie alors que l'intervalle est infini.

7.1 Introduction et vue d'ensemble

L'intégrale construite en première année ne concernait que les fonctions continues sur un segment. Or les intervalles de la physique et des probabilités ne sont presque jamais des segments : $[0, + \infty [$ pour une transformée de Laplace, $] 0, 1]$ pour une fonction qui explose en $0$ , $R$ tout entier pour une gaussienne. Ce chapitre étend l'intégrale à ces intervalles, dans le cadre restreint des fonctions continues, et en tire les deux outils qui servent : un théorème d'intégration terme à terme, qui échange une somme de série et une intégrale, et deux théorèmes de régularité pour les fonctions définies par une intégrale à paramètre.

Figure : Ce que veut dire « l'intégrale converge ». Pour une fonction positive, l'aire

accumulée $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ est croissante : elle n'a donc que deux avenirs, tendre vers une limite finie ou tendre vers $+ \infty$ , et le premier se produit exactement lorsqu'elle est majorée. Toute la première section du chapitre tient dans cette observation — c'est le même argument que pour les séries à termes positifs, dont les

sommes partielles sont croissantes.

7.2 Intégrale généralisée sur un intervalle de la forme $[a, + \infty [$

Tout part d'une définition par passage à la limite : on intègre sur un segment, puis on fait fuir la borne.

Définition 7.1Intégrale convergente en

+ \infty

Soit $f$ continue de $[a, + \infty [$ dans $K$ . L'intégrale $\int_{a}^{+ \infty} f$ est dite convergente si la fonction

$x ⟼ \int_{a}^{x} f (t) d t$

admet une limite finie quand $x$ tend vers $+ \infty$ . On note alors $\int_{a}^{+ \infty} f$ ou $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t$ cette limite. Dans le cas contraire, l'intégrale est dite divergente en $+ \infty$ .

Une fonction de signe constant simplifie tout, parce que la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ y est monotone : une fonction croissante a une limite finie si et seulement si elle est majorée.

Proposition 7.2Critère de majoration pour une fonction positive

Soit $f$ continue et positive sur $[a, + \infty [$ . Alors $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t$ converge si et seulement si la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est majorée.

Proposition 7.3Comparaison de deux fonctions positives

Soient $f$ et $g$ continues sur $[a, + \infty [$ telles que $0 \leq f \leq g$ . Alors la convergence de $\int_{a}^{+ \infty} g$ implique celle de $\int_{a}^{+ \infty} f$ — et, par contraposée, la divergence de $\int_{a}^{+ \infty} f$ implique celle de $\int_{a}^{+ \infty} g$ .

C'est le pendant exact, pour les intégrales, du théorème de comparaison des séries à termes positifs, et il se démontre de la même façon : la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ est croissante et majorée par $\int_{a}^{+ \infty} g$ .

7.3 Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque

Rien de ce qui précède ne tenait à ce que la borne fuyante fût $+ \infty$ : seule comptait l'existence d'une limite. On adapte donc mot pour mot aux autres formes d'intervalle.

Définition 7.4Intégrale généralisée sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ d'extrémités $a < b$ dans $R \cup {\pm \infty}$ .

Si $I = [a, b [$ , l'intégrale $\int_{a}^{b} f (t) d t$ converge en $b$ si $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ a une limite finie quand $x \to b^{-}$ .
Si $I =] a, b]$ , elle converge en $a$ si $x \mapsto \int_{x}^{b} f$ a une limite finie quand $x \to a^{+}$ .
Si $I =] a, b [$ , on fixe $c \in] a, b [$ et l'on dit que $\int_{a}^{b} f$ converge si les deux intégrales $\int_{a}^{c} f$ et $\int_{c}^{b} f$ convergent ; leur somme ne dépend pas du $c$ choisi.

ImportantUne borne à la fois

Sur un intervalle ouvert aux deux bouts, on ne fait jamais tendre les deux bornes ensemble. Écrire $lim_{x \to + \infty} \int_{- x}^{x} t d t = 0$ pour en conclure que $\int_{- \infty}^{+ \infty} t d t$ converge est faux : coupée en $0$ , chacune des deux moitiés diverge. La convergence exige que chaque borne soit traitée séparément.

Proposition 7.5Propriétés des intégrales généralisées

Sur un intervalle $I$ où les intégrales considérées convergent, l'intégrale généralisée conserve les propriétés de l'intégrale sur un segment : linéarité, positivité ( $f \geq 0 ⟹ \int_{I} f \geq 0$ ), croissance ( $f \leq g ⟹ \int_{I} f \leq \int_{I} g$ ) et relation de Chasles.

7.3.1 Intégration par parties et changement de variable

Les deux techniques de calcul de première année s'étendent, et ce sont elles qui ramènent la plupart des intégrales généralisées à des intégrales connues.

Exercices du chapitre

L'échelle de Riemann complète corrigé
Deux calculs directs corrigé
Intégrabilité par comparaison corrigé
Les factorielles par récurrence corrigé
Un changement de variable qui fait tout corrigé
La limite du binôme — convergence dominée corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre