Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres

Cours complet · mathématiques (PT), chapitre 7 · CPGE PT (2e année)

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7.1 Introduction et vue d'ensemble

L'intégrale construite en première année ne concernait que les fonctions continues sur un segment. Or les intervalles de la physique et des probabilités ne sont presque jamais des segments : $[0, + \infty [$ pour une transformée de Laplace, $] 0, 1]$ pour une fonction qui explose en $0$ , $R$ tout entier pour une gaussienne. Ce chapitre étend l'intégrale à ces intervalles, dans le cadre restreint des fonctions continues, et en tire les deux outils qui servent : un théorème d'intégration terme à terme, qui échange une somme de série et une intégrale, et deux théorèmes de régularité pour les fonctions définies par une intégrale à paramètre.

Figure : Ce que veut dire « l'intégrale converge ». Pour une fonction positive, l'aire

accumulée $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ est croissante : elle n'a donc que deux avenirs, tendre vers une limite finie ou tendre vers $+ \infty$ , et le premier se produit exactement lorsqu'elle est majorée. Toute la première section du chapitre tient dans cette observation — c'est le même argument que pour les séries à termes positifs, dont les sommes partielles sont croissantes.</div>

7.2 Intégrale généralisée sur un intervalle de la forme $[a, + \infty [$

Tout part d'une définition par passage à la limite : on intègre sur un segment, puis on fait fuir la borne.

Définition 7.1Intégrale convergente en

+ \infty

Soit $f$ continue de $[a, + \infty [$ dans $K$ . L'intégrale $\int_{a}^{+ \infty} f$ est dite convergente si la fonction

$x ⟼ \int_{a}^{x} f (t) d t$

admet une limite finie quand $x$ tend vers $+ \infty$ . On note alors $\int_{a}^{+ \infty} f$ ou $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t$ cette limite. Dans le cas contraire, l'intégrale est dite divergente en $+ \infty$ .

Une fonction de signe constant simplifie tout, parce que la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ y est monotone : une fonction croissante a une limite finie si et seulement si elle est majorée.

Proposition 7.2Critère de majoration pour une fonction positive

Soit $f$ continue et positive sur $[a, + \infty [$ . Alors $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t$ converge si et seulement si la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est majorée.

Proposition 7.3Comparaison de deux fonctions positives

Soient $f$ et $g$ continues sur $[a, + \infty [$ telles que $0 \leq f \leq g$ . Alors la convergence de $\int_{a}^{+ \infty} g$ implique celle de $\int_{a}^{+ \infty} f$ — et, par contraposée, la divergence de $\int_{a}^{+ \infty} f$ implique celle de $\int_{a}^{+ \infty} g$ .

C'est le pendant exact, pour les intégrales, du théorème de comparaison des séries à termes positifs, et il se démontre de la même façon : la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ est croissante et majorée par $\int_{a}^{+ \infty} g$ .

7.3 Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque

Rien de ce qui précède ne tenait à ce que la borne fuyante fût $+ \infty$ : seule comptait l'existence d'une limite. On adapte donc mot pour mot aux autres formes d'intervalle.

Définition 7.4Intégrale généralisée sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ d'extrémités $a < b$ dans $R \cup {\pm \infty}$ .

Si $I = [a, b [$ , l'intégrale $\int_{a}^{b} f (t) d t$ converge en $b$ si $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ a une limite finie quand $x \to b^{-}$ .
Si $I =] a, b]$ , elle converge en $a$ si $x \mapsto \int_{x}^{b} f$ a une limite finie quand $x \to a^{+}$ .
Si $I =] a, b [$ , on fixe $c \in] a, b [$ et l'on dit que $\int_{a}^{b} f$ converge si les deux intégrales $\int_{a}^{c} f$ et $\int_{c}^{b} f$ convergent ; leur somme ne dépend pas du $c$ choisi.

ImportantUne borne à la fois

Sur un intervalle ouvert aux deux bouts, on ne fait jamais tendre les deux bornes ensemble. Écrire $lim_{x \to + \infty} \int_{- x}^{x} t d t = 0$ pour en conclure que $\int_{- \infty}^{+ \infty} t d t$ converge est faux : coupée en $0$ , chacune des deux moitiés diverge. La convergence exige que chaque borne soit traitée séparément.

Proposition 7.5Propriétés des intégrales généralisées

Sur un intervalle $I$ où les intégrales considérées convergent, l'intégrale généralisée conserve les propriétés de l'intégrale sur un segment : linéarité, positivité ( $f \geq 0 ⟹ \int_{I} f \geq 0$ ), croissance ( $f \leq g ⟹ \int_{I} f \leq \int_{I} g$ ) et relation de Chasles.

7.3.1 Intégration par parties et changement de variable

Les deux techniques de calcul de première année s'étendent, et ce sont elles qui ramènent la plupart des intégrales généralisées à des intégrales connues.

◆Théorème 7.6Intégration par parties sur un intervalle quelconque

Soient $f$ et $g$ de classe $C^{1}$ sur $] a, b [$ . Si le produit $f g$ admet des limites finies en $a$ et en $b$ , alors les intégrales $\int_{a}^{b} f g^{'}$ et $\int_{a}^{b} f^{'} g$ sont de même nature, et en cas de convergence :

$\int_{a}^{b} f (t) g^{'} (t) d t = [f g]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (t) g (t) d t,$

où $[f g]_{a}^{b}$ désigne la différence des deux limites. Sa démonstration n'est pas exigible.

◆Théorème 7.7Changement de variable

Soient $f$ continue sur $] a, b [$ et $φ :] α, β [\to] a, b [$ bijective, strictement croissante et de classe $C^{1}$ . Alors les intégrales

$\int_{a}^{b} f (t) d t et \int_{α}^{β} f (φ (u)) φ^{'} (u) d u$

sont de même nature et égales en cas de convergence. L'énoncé s'adapte au cas où $φ$ est strictement décroissante, en échangeant les bornes. Sa démonstration n'est pas exigible.

Dans les changements de variable usuels, on applique ce résultat sans vérifier les hypothèses : ce qui compte est que $φ$ soit une bijection monotone entre les deux intervalles ouverts, ce qui se lit sur les bornes.

7.4 Intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables

Une intégrale généralisée pose deux questions distinctes, et les confondre est la faute la plus fréquente du chapitre : converge-t-elle, et la fonction est-elle intégrable ? Pour une fonction de signe constant les deux coïncident ; sinon, non. L'intégrale $\int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n t}{t} d t$ converge — sa limite existe — alors que $\frac{s i n t}{t}$ n'est pas intégrable. L'étude de ces intégrales, dites semi-convergentes, n'est pas un objectif du programme ; mais la distinction, elle, est indispensable, car tous les théorèmes qui suivent réclament l'intégrabilité et non la simple convergence.

Définition 7.8Intégrale absolument convergente, fonction intégrable

Soit $I$ un intervalle de $R$ et $f : I \to K$ continue.

L'intégrale $\int_{I} f$ est dite absolument convergente si $\int_{I} ∣ f (t) ∣ d t$ converge.
$f$ est dite intégrable sur $I$ si elle est continue sur $I$ et si son intégrale sur $I$ est absolument convergente. On note alors $\int_{I} f$ ou $\int_{I} f (t) d t$ .

Les deux expressions « $f$ est intégrable sur $I$ » et « l'intégrale $\int_{I} f$ converge absolument » sont employées indifféremment. Si $I = [a, b [$ , on dit que $f$ est intégrable en $b$ ; si $I =] a, b]$ , intégrable en $a$ .

◆Théorème 7.9L'absolue convergence implique la convergence

Si $f$ est intégrable sur $I$ , alors $\int_{I} f$ converge, et

$\int_{I} f (t) d t \leq \int_{I} ∣ f (t) ∣ d t (in e ˊ galit e ˊ triangulaire).$

La démonstration n'est pas exigible pour les fonctions à valeurs dans $C$ .

Proposition 7.10L'espace

L^{1} (I, K)

L'ensemble $L^{1} (I, K)$ des fonctions intégrables sur $I$ à valeurs dans $K$ est un espace vectoriel, et $f \mapsto \int_{I} f$ y est une forme linéaire.

Proposition 7.11Une intégrale nulle de fonction positive

Si $f$ est continue, positive et intégrable sur $I$ et si $\int_{I} f = 0$ , alors $f$ est identiquement nulle sur $I$ .

C'est la continuité qui porte tout le poids de l'énoncé : sans elle, une fonction nulle partout sauf en un point aurait une intégrale nulle sans être nulle. Ce résultat est ce qui fait de $(f, g) \mapsto \int_{I} f g$ un produit scalaire sur un espace de fonctions continues — le lien avec le chapitre des espaces euclidiens passe exactement par là.

7.4.1 Comparer deux fonctions

◆Théorème 7.12Critères de comparaison

Soient $f$ et $g$ continues sur $[a, + \infty [$ .

Si $∣ f ∣ \leq ∣ g ∣$ , l'intégrabilité de $g$ implique celle de $f$ en $+ \infty$ .
Si $f (t) = O (g (t))$ quand $t \to + \infty$ , l'intégrabilité de $g$ implique celle de $f$ en $+ \infty$ .
Si $f (t) \sim g (t)$ quand $t \to + \infty$ , l'intégrabilité de $f$ équivaut à celle de $g$ en $+ \infty$ .

Les énoncés s'adaptent à une borne finie. Le point 2 contient le cas $f (t) = o (g (t))$ .

ImportantL'équivalent ne conserve que l'intégrabilité

Comme pour les séries, le troisième critère porte sur l'intégrabilité, pas sur la convergence de l'intégrale. Deux fonctions équivalentes en $+ \infty$ peuvent donner l'une une intégrale convergente et l'autre une intégrale divergente, dès qu'elles changent de signe. L'équivalent ne se manipule sans précaution que sur des fonctions de signe constant.

Enfin, tout se ramène en pratique à un très court catalogue.

◆Théorème 7.13Fonctions de référence

Soit $α \in R$ .

Intégrales de Riemann en $+ \infty$ : sur $[1, + \infty [$ , $t \mapsto \frac{1}{t ^{α}}$ est intégrable si et seulement si $α > 1$ .
Intégrales de Riemann en $0^{+}$ : sur $] 0, 1]$ , $t \mapsto \frac{1}{t ^{α}}$ est intégrable si et seulement si $α < 1$ .
Exponentielle : sur $[0, + \infty [$ , $t \mapsto e^{- α t}$ est intégrable si et seulement si $α > 0$ .
Logarithme : $t \mapsto ln t$ est intégrable en $0^{+}$ .

Les deux premiers points s'inversent, et c'est le piège du chapitre : en $+ \infty$ il faut $α$ grand pour que la fonction décroisse assez vite, en $0^{+}$ il faut $α$ petit pour que l'explosion reste modérée. Le cas $α = 1$ échoue des deux côtés, ce qui se retient d'un mot : $\frac{1}{t}$ n'est intégrable nulle part. Enfin, une translation ne change rien à l'intégrabilité : $x \mapsto f (x)$ est intégrable en $a^{+}$ si et seulement si $t \mapsto f (a + t)$ l'est en $0^{+}$ , ce qui ramène toute borne finie au catalogue ci-dessus.

7.5 Intégration terme à terme

Une fonction se laisse rarement intégrer telle quelle sur un intervalle non borné. Le détour qui marche consiste à la développer en série — le chapitre précédent en a fourni l'outil — puis à intégrer terme à terme. L'échange d'une somme infinie et d'une intégrale n'est pas gratuit, et le théorème dit exactement ce qu'il coûte.

◆Théorème 7.14Intégration terme à terme

Soit $S : I \to R$ une fonction continue. On suppose qu'il existe des fonctions $f_{n} : I \to R$ intégrables telles que

$\forall t \in I, S (t) = n = 0 \sum + \infty f_{n} (t) .$

Si la série $\sum_{n} \int_{I} ∣ f_{n} (t) ∣ d t$ est convergente, alors $S$ est intégrable sur $I$ et

$\int_{I} S (t) d t = \int_{I} n = 0 \sum + \infty f_{n} (t) d t = n = 0 \sum + \infty \int_{I} f_{n} (t) d t .$

Sa démonstration est hors programme.

ImportantL'hypothèse porte sur les valeurs absolues

Ce qu'il faut établir n'est pas que $\sum \int_{I} f_{n}$ converge — c'est la conclusion —, mais que $\sum \int_{I} ∣ f_{n} ∣$ converge. Les deux séries sont différentes, et c'est la seconde, plus exigeante, qui autorise l'échange. Quand les $f_{n}$ sont positives, elles coïncident, et l'hypothèse se vérifie donc en calculant simplement $\int_{I} f_{n}$ .

Méthode : Calculer une intégrale par développement en série

Faire apparaître dans l'intégrande une série géométrique ou exponentielle : c'est presque toujours un facteur du type $\frac{1}{1 - e ^{- t}}$ ou $\frac{1}{1 + t}$ que l'on développe.
Écrire $S (t) = \sum f_{n} (t)$ et vérifier que chaque $f_{n}$ est intégrable sur $I$ .
Calculer $\int_{I} ∣ f_{n} ∣$ — souvent une intégrale de la forme $\int_{0}^{+ \infty} t^{k} e^{- n t} d t$ — et montrer que la série de ces quantités converge.
Conclure en échangeant, et reconnaître la série numérique obtenue.

Exemple 7.15L'intégrale de Bose

Sur $I =] 0, + \infty [$ , écrivons

$\frac{t}{e ^{t} - 1} = \frac{t e ^{- t}}{1 - e ^{- t}} = n = 1 \sum + \infty t e^{- n t},$

la série géométrique de raison $e^{- t} \in] 0, 1 [$ . Chaque $f_{n} : t \mapsto t e^{- n t}$ est positive et intégrable, d'intégrale $\int_{0}^{+ \infty} t e^{- n t} d t = \frac{1}{n ^{2}}$ , et la série $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ converge. Le théorème s'applique :

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{t}{e ^{t} - 1} d t = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6} .$

Aucune primitive de l'intégrande ne s'exprime avec les fonctions usuelles : le développement en série n'est pas ici une commodité, c'est le seul chemin.

7.6 Intégrales dépendant d'un paramètre

Une intégrale à paramètre définit une fonction, et l'on veut savoir ce qu'elle vaut comme fonction : est-elle continue, dérivable ? Les deux théorèmes de cette section répondent, et ils ont la même architecture — convergence, puis domination locale.

Important

« Locale » est le mot important : il suffit de dominer sur un voisinage du point étudié, ou sur tout segment du domaine. Chercher une domination valable sur le domaine entier est souvent impossible et presque toujours inutile — c'est la faute qui fait échouer les exercices sur $Γ$ .

◆Théorème 7.16Théorème de continuité

Soient $A$ et $I$ deux intervalles de $R$ et $f$ une fonction définie sur $A \times I$ telle que :

pour tout $t \in I$ , $x \mapsto f (x, t)$ est continue sur $A$ ;
pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f (x, t)$ est continue sur $I$ ;
domination : il existe $φ$ intégrable sur $I$ telle que

$\forall (x, t) \in A \times I, ∣ f (x, t) ∣ \leq φ (t) .$

Alors la fonction $x \mapsto \int_{I} f (x, t) d t$ est définie et continue sur $A$ . Sa démonstration est hors programme.

L'hypothèse de domination fait ici double emploi, et c'est ce qui la rend indispensable : elle assure d'un même coup que l'intégrale existe pour chaque $x$ — sans quoi la fonction ne serait pas définie — et que la continuité passe à la limite.

Figure : L'hypothèse de domination. Une seule fonction

φ

, intégrable et

indépendante de $x$ , doit coiffer toutes les fonctions $t \mapsto f (x, t)$ quand $x$ parcourt $A$ . C'est cette uniformité qui est l'objet de l'hypothèse : une majoration valable pour chaque $x$ mais par une fonction qui dépendrait de $x$ ne prouve rien.</div>

La dérivation sous le signe intégral — la formule de Leibniz — a la même architecture, à un déplacement près : c'est $\frac{\partial f}{\partial x}$ qu'il faut dominer, et non $f$ . L'hypothèse porte sur la dérivée partielle, et l'intégrabilité de $t \mapsto f (x, t)$ redevient une hypothèse à part entière.

◆Théorème 7.17Dérivation sous le signe intégral (Formule de Leibniz)

Soit $F (x) = \int_{I} f (x, t) d t$ . On suppose que :

Pour tout $x \in A$ , $t \mapsto f (x, t)$ est continue par morceaux et intégrable sur $I$ .
La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ existe et est continue sur $A \times I$ .
Domination locale de la dérivée : pour tout segment $[a, b] \subset A$ , il existe $h \in L^{1} (I, R_{+})$ telle que :

$\forall x \in [a, b], \forall t \in I, \frac{\partial f}{\partial x} (x, t) \leq h (t) .$

Alors $F$ est de classe $C^{1}$ sur $A$ , et :

$F^{'} (x) = \int_{I} \frac{\partial f}{\partial x} (x, t) d t .$

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