Fonctions Vectorielles, Arcs Paramétrés et Géométrie Différentielle

Cours complet · mathématiques (PT), chapitre 8 · CPGE PT (2e année)

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8.1 Introduction et vue d'ensemble

La géométrie différentielle des courbes et arcs paramétrés constitue l'outil fondamental de la cinématique du point et du solide en mécanique industrielle, en robotique et en dynamique spatiale. En classe de PT, on y étudie la paramétrisation des trajectoires, le vecteur vitesse, le vecteur accélération, l'allure locale d'une courbe en un point — y compris là où la vitesse s'annule —, ses branches infinies, puis ses propriétés métriques : l'abscisse curviligne, le repère de Frenet $(T, N)$ du plan, la courbure $κ$ , le centre de courbure, et enfin la développée, qui est à la fois le lieu des centres de courbure et l'enveloppe des normales.

8.2 Arcs paramétrés et Cinématique

Un arc paramétré n'est pas une courbe : c'est une courbe parcourue. Deux paramétrages différents du même support décrivent le même dessin et deux mouvements différents, et la plupart des grandeurs du chapitre — vitesse, accélération — dépendent du paramétrage, quand d'autres — longueur, courbure — n'en dépendent pas.

C'est cette distinction qui justifie l'abscisse curviligne $s$ : en reparamétrant par la longueur parcourue, on obtient le seul paramétrage intrinsèque, celui où le vecteur tangent est unitaire. Toutes les formules de Frenet s'écrivent dans ce paramétrage-là, et c'est pourquoi elles ne dépendent que de la courbe, pas de la façon dont on la parcourt.

8.2.1 Vitesse, Accélération et Abscisse curviligne

Définition 8.1Arc paramétré de classe

C^{k}

Un arc paramétré de classe $C^{k}$ ( $k \geq 1$ ) dans l'espace euclidien $R^{3}$ (ou $R^{2}$ ) est une application $f : I \to R^{3}, t \mapsto O M (t) = (x (t), y (t), z (t))^{⊤}$ .

Le vecteur vitesse en $t$ est $v (t) = f^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t), z^{'} (t))^{⊤}$ .
Le point $M (t)$ est dit régulier si $v (t) \neq = 0$ .
Le vecteur accélération est $γ (t) = f^{''} (t) = (x^{''} (t), y^{''} (t), z^{''} (t))^{⊤}$ .
L'abscisse curviligne d'origine $t_{0} \in I$ est $s (t) = \int_{t_{0}}^{t} ∥ v (u) ∥ d u$ . On a $\frac{d s}{d t} = ∥ v (t) ∥ = v (t)$ .
La longueur de l'arc entre $t_{1}$ et $t_{2}$ est $L = \int_{t_{1}}^{t_{2}} ∥ f^{'} (t) ∥ d t = s (t_{2}) - s (t_{1})$ .

8.3 Étude locale d'une courbe paramétrée du plan

Ce que fait la courbe au voisinage d'un point ne se lit ni sur la vitesse seule, ni sur l'accélération seule : il faut aller chercher, dans le développement limité, les deux premières dérivées qui donnent des directions différentes.

Définition 8.2Les deux entiers caractéristiques

p

q

Soit $Γ$ une courbe de classe $C^{\infty}$ et $M (t_{0})$ un de ses points. On note

$p$ le plus petit entier $\geq 1$ tel que $f^{(p)} (t_{0}) \neq = 0$ ;
$q$ le plus petit entier $> p$ tel que $f^{(q)} (t_{0})$ ne soit pas colinéaire à $f^{(p)} (t_{0})$ .

Le point est régulier si $p = 1$ , stationnaire sinon.

La formule de Taylor-Young donne alors

$O M (t) = O M (t_{0}) + \frac{( t - t _{0} ) ^{p}}{p !} f^{(p)} (t_{0}) + \frac{( t - t _{0} ) ^{q}}{q !} f^{(q)} (t_{0}) + o ((t - t_{0})^{q}),$

et tout se lit sur cette écriture. Le vecteur $f^{(p)} (t_{0})$ dirige la tangente — y compris en un point stationnaire, où la vitesse est nulle et ne dit rien. Les deux termes forment un repère local, et les parités de $p$ et $q$ décident de la forme du dessin : le premier terme change de signe avec $t - t_{0}$ si $p$ est impair, le second si $q$ est impair.

◆Théorème 8.3Classification des points par les parités de

p

q

$p$ impair, $q$ pair : point ordinaire. La courbe traverse la normale et reste du même côté de la tangente.
$p$ impair, $q$ impair : point d'inflexion. La courbe traverse la tangente.
$p$ pair, $q$ impair : rebroussement de première espèce. Les deux branches partent du même côté de la normale, de part et d'autre de la tangente.
$p$ pair, $q$ pair : rebroussement de seconde espèce. Les deux branches partent du même côté de la normale et du même côté de la tangente.

Figure : Les quatre allures possibles au voisinage d'un point, tracées sur leurs

paramétrages types : $(t, t^{2})$ , $(t, t^{3})$ , $(t^{2}, t^{3})$ et $(t^{2}, t^{4} + \frac{1}{2} t^{5})$ . Dans les quatre cas la tangente est horizontale et la normale verticale. Ce qui distingue les colonnes est la traversée : à $p$ impair la courbe franchit la normale, à $q$ impair elle franchit la tangente. Les deux rebroussements sont exactement les points où la vitesse s'annule — la courbe s'y arrête et repart en arrière, ce qu'aucune étude de $v$ seule ne pouvait annoncer.</div>

8.3.1 Branches infinies

Quand $t$ tend vers une borne où la courbe s'échappe à l'infini, on cherche à quoi elle ressemble au loin. La marche à suivre est toujours la même, et elle s'arrête dès qu'une étape échoue.

Méthode : Étudier une branche infinie

Soit $t \to t_{\infty}$ une borne où $∥ O M (t) ∥ \to + \infty$ .

Si $x (t) \to x_{0}$ fini et $∣ y (t) ∣ \to + \infty$ : asymptote verticale d'équation $x = x_{0}$ . Symétriquement pour une asymptote horizontale.
Sinon, $∣ x (t) ∣ \to + \infty$ : calculer $lim \frac{y ( t )}{x ( t )} = a$ .

$a = \pm \infty$ : branche parabolique de direction $(O y)$ .
$a = 0$ : branche parabolique de direction $(O x)$ .
$a$ fini non nul : calculer $lim (y (t) - a x (t)) = b$ . Si $b$ est fini, asymptote d'équation $y = a x + b$ ; si la limite est infinie, branche parabolique de direction $y = a x$ .

En cas d'asymptote, le signe de $y (t) - (a x (t) + b)$ donne la position de la courbe par rapport à elle : c'est un développement asymptotique, pas une limite, qui le fournit.

8.3.2 Support et construction

Le support d'une courbe paramétrée est l'ensemble des points $M (t)$ atteints, c'est-à-dire le dessin lui-même, dépouillé de la façon dont il est parcouru. On le construit à partir des tableaux de variations conjoints de $x$ et de $y$ : les deux lignes se lisent ensemble, chaque intervalle de monotonie donnant un morceau d'arc dont on connaît le sens de parcours. Les annulations de $x^{'}$ et de $y^{'}$ y marquent les tangentes verticales et horizontales, et leur annulation simultanée signale un point stationnaire, à traiter par la classification précédente.

Une réduction préalable du domaine d'étude par les symétries — parité de $x$ et de $y$ , périodicité, invariance par $t \mapsto - t$ ou $t \mapsto t + T$ — épargne le plus gros du travail : on trace une portion, puis on complète par les symétries du plan qu'elles induisent.

8.4 Le Repère de Frenet et les Formules de Frenet

8.4.1 Repère de Frenet et Courbure dans le plan

◆Théorème 8.4Formules de Frenet dans le plan

R^{2}

Soit $Γ$ un arc paramétré régulier du plan orienté, paramétré par son abscisse curviligne $s$ . En tout point régulier :

Le vecteur tangent unitaire est $T (s) = \frac{d O M}{d s} = \frac{v ( t )}{∥ v ( t ) ∥}$ .
Le vecteur normal unitaire $N (s)$ est l'unique vecteur unitaire tel que $(T, N)$ forme une BON directe du plan.
Les formules de Frenet s'écrivent :

$\frac{d T}{d s} = κ N, \frac{d N}{d s} = - κ T,$

où $κ (s) \in R$ est la courbure algébrique de la courbe au point $M (s)$ .

8.4.2 L'angle tangentiel, et ce que mesure la courbure

La courbure se calcule par l'angle que fait la tangente avec l'axe des abscisses, et non par une formule. C'est ce détour qui lui donne son sens géométrique.

Proposition 8.5Angle tangentiel

Dans le plan orienté, le vecteur tangent unitaire d'une courbe régulière s'écrit

$T (t) = cos (α (t))  + sin (α (t)) ,$

où $α (t)$ est une mesure de l'angle orienté que fait $T (t)$ avec $$ . La courbure est alors

$κ = \frac{d α}{d s} .$

Cette écriture dit tout. La courbure est la vitesse de rotation de la tangente par unité de longueur parcourue : une droite, dont la tangente ne tourne pas, a une courbure nulle ; un cercle de rayon $R$ , dont la tangente fait un tour complet sur une longueur $2 π R$ , a une courbure constante $\frac{1}{R}$ . Son signe se lit tout aussi directement : $κ > 0$ quand la courbe tourne vers la gauche du sens de parcours, $κ < 0$ quand elle tourne vers la droite, et un changement de sens de parcours change le signe de $κ$ sans changer $∣ κ ∣$ .

Définition 8.6Point birégulier, rayon et cercle de courbure

Soit $Γ$ une courbe plane de classe $C^{2}$ . Un point $M (t)$ est dit birégulier si la famille $(v (t), γ (t))$ est libre — ce qui équivaut à $κ (t) \neq = 0$ . En un tel point :

le rayon de courbure est $R (t) = \frac{1}{∣ κ ( t ) ∣}$ ;
le centre de courbure est $C (t) = M (t) + \frac{1}{κ ( t )} N (t)$ ;
le cercle de courbure (ou cercle osculateur) est le cercle de centre $C (t)$ et de rayon $R (t)$ .

Le cercle de courbure est le cercle qui épouse la courbe le mieux possible au point considéré : il a la même tangente et la même courbure. On le voit comme la limite du cercle passant par trois points de la courbe qui se rapprochent — d'où le nom d'osculateur.

8.4.3 Décomposition de l'accélération dans le repère de Frenet

◆Théorème 8.7Accélération tangentielle et normale

Le vecteur accélération d'un point matériel s'exprime dans le repère de Frenet par :

$γ = \frac{d v}{d t} T + \frac{v ^{2}}{R} N = γ_{T} T + γ_{N} N,$

où $γ_{T} = \frac{d v}{d t}$ est l'accélération tangentielle (variation scalaire de la vitesse) et $γ_{N} = \frac{v ^{2}}{R}$ est l'accélération centripète (liée au changement de direction de la trajectoire).

8.5 Développée et enveloppe d'une famille de droites

Les centres de courbure d'une courbe forment eux-mêmes une courbe, et cette courbe se rencontre par un tout autre chemin : elle est celle que les normales dessinent en se croisant. Les deux points de vue coïncident, et c'est le contenu de cette section.

Définition 8.8Développée

La développée d'une courbe birégulière $Γ$ est l'ensemble de ses centres de courbure, c'est-à-dire la courbe paramétrée

$t ⟼ C (t) = M (t) + \frac{1}{κ ( t )} N (t) .$

8.5.1 Enveloppe d'une famille de droites

Définition 8.9Enveloppe

Soit $(D_{t})$ une famille de droites donnée par la représentation paramétrique

$D_{t} : λ ⟼ A (t) + λ u (t),$

où $A$ et $u$ sont de classe $C^{1}$ et $u (t) \neq = 0$ . Une enveloppe de la famille est une courbe $t \mapsto E (t)$ telle que, pour tout $t$ :

$E (t)$ appartient à $D_{t}$ , c'est-à-dire $E (t) = A (t) + λ (t) u (t)$ pour une fonction $λ$ de classe $C^{1}$ ;
la tangente à cette courbe en $E (t)$ est dirigée par $u (t)$ , c'est-à-dire par $D_{t}$ elle-même.

L'enveloppe est donc la courbe qui est tangente à chacune des droites de la famille, chaque droite la touchant en un point — son point caractéristique. C'est ce que l'œil voit quand on trace une famille de droites : le dessin fait apparaître une courbe que personne n'a tracée, formée par l'accumulation des intersections de droites voisines.

Méthode : Déterminer une enveloppe

On cherche la fonction inconnue $λ$ .

Poser $E (t) = A (t) + λ (t) u (t)$ , avec $λ$ à déterminer.
Dériver : $E^{'} (t) = A^{'} (t) + λ^{'} (t) u (t) + λ (t) u^{'} (t)$ .
Écrire que $E^{'} (t)$ est colinéaire à $u (t)$ : le déterminant $det (E^{'} (t), u (t))$ est nul. Le terme en $λ^{'}$ disparaît de lui-même — c'est ce qui rend l'équation résoluble —, et il reste une équation du premier degré en $λ (t)$ :

$det (A^{'} (t), u (t)) + λ (t) det (u^{'} (t), u (t)) = 0.$

En tirer $λ (t)$ , puis $E (t)$ , là où $det (u^{'} (t), u (t)) \neq = 0$ .

◆Théorème 8.10La développée est l'enveloppe des normales

La développée d'une courbe birégulière est l'enveloppe de la famille de ses normales.

Le résultat se lit sur la définition du centre de courbure : $C (t)$ est sur la normale en $M (t)$ par construction, et l'on vérifie que la tangente à $t \mapsto C (t)$ est portée par cette même normale. Il donne à la développée sa description géométrique : les normales d'une courbe ne se croisent pas au hasard, elles épousent toutes une même courbe, et le rayon de courbure est la distance du point à cette courbe.

Figure : La développée d'une ellipse, obtenue comme enveloppe de ses normales. Aucune des

droites grises n'est tangente à la courbe rouge en tant qu'individu : ce sont simplement les normales à l'ellipse, et la courbe naît de leurs croisements — deux normales voisines se coupent au voisinage d'un point de la développée, et c'est cette accumulation que l'œil suit. Chaque normale touche la développée en un seul point, le centre de courbure du point de l'ellipse d'où elle part, et la distance de ce point à l'ellipse est le rayon de courbure : au sommet du petit axe il vaut $4, 51$ pour un demi-petit axe de $1, 5$ , ce qui explique que la développée sorte largement de l'ellipse. Les quatre pointes de la développée correspondent aux quatre sommets de l'ellipse, où la courbure est extrémale.</div>

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