Fonctions Vectorielles, Arcs Paramétrés et Géométrie Différentielle

Cours · mathématiques (PT), chapitre 8 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les positions successives d'un mobile sur sa trajectoire, avec son vecteur vitesse tangent.

8.1 Introduction et vue d'ensemble

La géométrie différentielle des courbes et arcs paramétrés constitue l'outil fondamental de la cinématique du point et du solide en mécanique industrielle, en robotique et en dynamique spatiale. En classe de PT, on y étudie la paramétrisation des trajectoires, le vecteur vitesse, le vecteur accélération, l'allure locale d'une courbe en un point — y compris là où la vitesse s'annule —, ses branches infinies, puis ses propriétés métriques : l'abscisse curviligne, le repère de Frenet $(T, N)$ du plan, la courbure $κ$ , le centre de courbure, et enfin la développée, qui est à la fois le lieu des centres de courbure et l'enveloppe des normales.

8.2 Arcs paramétrés et Cinématique

Un arc paramétré n'est pas une courbe : c'est une courbe parcourue. Deux paramétrages différents du même support décrivent le même dessin et deux mouvements différents, et la plupart des grandeurs du chapitre — vitesse, accélération — dépendent du paramétrage, quand d'autres — longueur, courbure — n'en dépendent pas.

C'est cette distinction qui justifie l'abscisse curviligne $s$ : en reparamétrant par la longueur parcourue, on obtient le seul paramétrage intrinsèque, celui où le vecteur tangent est unitaire. Toutes les formules de Frenet s'écrivent dans ce paramétrage-là, et c'est pourquoi elles ne dépendent que de la courbe, pas de la façon dont on la parcourt.

8.2.1 Vitesse, Accélération et Abscisse curviligne

Définition 8.1Arc paramétré de classe

C^{k}

Un arc paramétré de classe $C^{k}$ ( $k \geq 1$ ) dans l'espace euclidien $R^{3}$ (ou $R^{2}$ ) est une application $f : I \to R^{3}, t \mapsto O M (t) = (x (t), y (t), z (t))^{⊤}$ .

Le vecteur vitesse en $t$ est $v (t) = f^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t), z^{'} (t))^{⊤}$ .
Le point $M (t)$ est dit régulier si $v (t) \neq = 0$ .
Le vecteur accélération est $γ (t) = f^{''} (t) = (x^{''} (t), y^{''} (t), z^{''} (t))^{⊤}$ .
L'abscisse curviligne d'origine $t_{0} \in I$ est $s (t) = \int_{t_{0}}^{t} ∥ v (u) ∥ d u$ . On a $\frac{d s}{d t} = ∥ v (t) ∥ = v (t)$ .
La longueur de l'arc entre $t_{1}$ et $t_{2}$ est $L = \int_{t_{1}}^{t_{2}} ∥ f^{'} (t) ∥ d t = s (t_{2}) - s (t_{1})$ .

8.3 Étude locale d'une courbe paramétrée du plan

Ce que fait la courbe au voisinage d'un point ne se lit ni sur la vitesse seule, ni sur l'accélération seule : il faut aller chercher, dans le développement limité, les deux premières dérivées qui donnent des directions différentes.

Définition 8.2Les deux entiers caractéristiques

p

q

Soit $Γ$ une courbe de classe $C^{\infty}$ et $M (t_{0})$ un de ses points. On note

$p$ le plus petit entier $\geq 1$ tel que $f^{(p)} (t_{0}) \neq = 0$ ;
$q$ le plus petit entier $> p$ tel que $f^{(q)} (t_{0})$ ne soit pas colinéaire à $f^{(p)} (t_{0})$ .

Le point est régulier si $p = 1$ , stationnaire sinon.

La formule de Taylor-Young donne alors

$O M (t) = O M (t_{0}) + \frac{( t - t _{0} ) ^{p}}{p !} f^{(p)} (t_{0}) + \frac{( t - t _{0} ) ^{q}}{q !} f^{(q)} (t_{0}) + o ((t - t_{0})^{q}),$

et tout se lit sur cette écriture. Le vecteur $f^{(p)} (t_{0})$ dirige la tangente — y compris en un point stationnaire, où la vitesse est nulle et ne dit rien. Les deux termes forment un repère local, et les parités de $p$ et $q$ décident de la forme du dessin : le premier terme change de signe avec $t - t_{0}$ si $p$ est impair, le second si $q$ est impair.

◆Théorème 8.3Classification des points par les parités de

p

q

$p$ impair, $q$ pair : point ordinaire. La courbe traverse la normale et reste du même côté de la tangente.
$p$ impair, $q$ impair : point d'inflexion. La courbe traverse la tangente.
$p$ pair, $q$ impair : rebroussement de première espèce. Les deux branches partent du même côté de la normale, de part et d'autre de la tangente.
$p$ pair, $q$ pair : rebroussement de seconde espèce. Les deux branches partent du même côté de la normale et du même côté de la tangente.

Exercices du chapitre

L'hélice corrigé
Norme constante et orthogonalité corrigé
Une intégrale vectorielle et l'inégalité stricte corrigé
Rolle ne survit pas corrigé
Sommes de Riemann vectorielles corrigé
Majorer une intégrale par les accroissements finis corrigé

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