Exercices corrigés — Fonctions Vectorielles, Arcs Paramétrés et Géométrie Différentielle (mathématiques (PT))
20 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
Niveau ★ — application directe du cours
- L'hélice Exercice de TD
- Norme constante et orthogonalité Exercice de TD
- Une intégrale vectorielle et l'inégalité stricte Exercice de TD
Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire
- Rolle ne survit pas Exercice de TD
- Sommes de Riemann vectorielles Exercice de TD
- Majorer une intégrale par les accroissements finis Exercice de TD
Niveau ★★★ — approfondissement
- Inégalité de Landau Exercice de TD
- Déterminant de l'exponentielle Exercice de TD
C. Inégalité des accroissements finis
- La limite de f' en +∞ gouverne celle de f(t)/t Exercice de TD
- Montrer qu'une fonction de classe C¹ de dérivée nulle sur un… Application directe du cours
D. Formules de Taylor
- Contrôle de f' par f'' quand f s'annule aux bords Exercice de TD
- Dérivées uniformément bornées et série de Taylor sur ℝ Exercice de TD
- Donner le développement limité à l'ordre 2 en 0 de t ↦ (cos t, ln… Application directe du cours
B. Intégration sur un segment
- La moyenne d'une fonction périodique tend vers sa moyenne sur une période Exercice de TD
- Calculer ∫₀¹ (t, eᵗ, 1/(1+t²) )dt (coordonnée par coordonnée : (1/2, e… Application directe du cours
A. Dérivabilité et opérations
- Dériver la norme, sauf là où la fonction s'annule Exercice de TD
- La trace est la dérivée du déterminant au voisinage de l'identité Exercice de TD
- Dériver un produit vectoriel, et la loi des aires en force centrale Exercice de TD
- Montrer que f(t) = (t|t|, sin t, eᵗ) est de classe C¹ sur ℝ mais pas… Application directe du cours
- Soit f : ℝ → E dérivable et paire. Montrer que f' est impaire (dériver… Application directe du cours