Équations Différentielles et Calcul Différentiel

Cours · mathématiques (PT), chapitre 9 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le champ de directions de l'équation y′ = x − y et une courbe solution.

9.1 Introduction et vue d'ensemble

Ce chapitre réunit deux sujets que le programme place côte à côte, et qui se répondent. Le premier est l'équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2 à coefficients non constants : la première année a traité le cas constant, il reste à décrire la structure de l'ensemble des solutions dans le cas général et à donner les deux procédés de résolution explicite qui fonctionnent — le développement en série entière, dont le chapitre 6 a fourni l'outil, et l'abaissement de l'ordre lorsqu'une solution est connue.

Le second est le calcul différentiel des fonctions de deux ou trois variables : dérivées partielles, gradient, dérivées secondes et matrice hessienne, recherche d'extremums. C'est le cadre de la thermodynamique, de la mécanique des milieux continus et de l'optimisation des structures, et c'est aussi l'outil que le chapitre suivant emploiera pour définir les surfaces par une équation cartésienne.

9.2 Équations différentielles scalaires d'ordre 2

La première année a résolu $y^{''} + a y^{'} + b y = c (t)$ à coefficients constants, par l'équation caractéristique. Dès que $a$ et $b$ dépendent de $t$ , il n'y a plus de formule — et pourtant la structure de l'ensemble des solutions, elle, ne change pas. C'est ce que dit cette section, avant de donner les deux seuls procédés de résolution explicite au programme.

9.2.1 Ensemble des solutions

Définition 9.1Équation différentielle scalaire d'ordre 2

Soient $a$ , $b$ et $c$ trois fonctions continues sur un intervalle $I$ . On appelle équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2 l'équation

$(E) : y^{''} + a (t) y^{'} + b (t) y = c (t),$

d'inconnue une fonction $y$ deux fois dérivable sur $I$ . L'équation homogène associée est

$(H) : y^{''} + a (t) y^{'} + b (t) y = 0.$

◆Théorème 9.2Théorème de Cauchy linéaire

Soient $t_{0} \in I$ et $(y_{0}, y_{1}) \in R^{2}$ . Le problème de Cauchy

${y^{''} + a (t) y^{'} + b (t) y = c (t) y (t_{0}) = y_{0}, y^{'} (t_{0}) = y_{1}$

admet une unique solution, et elle est définie sur $I$ tout entier. Sa démonstration est hors programme.

Les deux affirmations comptent autant l'une que l'autre. L'unicité dit qu'une solution est entièrement déterminée par sa valeur et sa pente en un seul point — c'est le fondement de toute la mécanique, où position et vitesse initiales fixent le mouvement. Le caractère global dit qu'une solution ne peut pas exploser au milieu de $I$ : contrairement au cas non linéaire, il n'y a pas d'intervalle maximal à chercher, dès lors que $a$ , $b$ et $c$ sont continues sur $I$ .

ImportantOù les coefficients doivent-ils être continus ?

L'énoncé exige la continuité de $a$ , $b$ et $c$ sur $I$ , ce qui suppose l'équation résolue en $y^{''}$ . Une équation écrite $α (t) y^{''} + β (t) y^{'} + γ (t) y = 0$ doit d'abord être divisée par $α (t)$ , et le théorème ne s'applique alors que sur les intervalles où $α$ ne s'annule pas. Les points où $α$ s'annule coupent le domaine en morceaux qu'il faut traiter séparément : c'est là que l'unicité peut échouer.

◆Théorème 9.3Structure de l'ensemble des solutions

L'ensemble $S_{H}$ des solutions de $(H)$ sur $I$ est un espace vectoriel de dimension $2$ . Une base $(y_{1}, y_{2})$ en est appelée système fondamental de solutions.
Principe de superposition : si $y_{A}$ est solution de $y^{''} + a y^{'} + b y = c_{A}$ et $y_{B}$ de $y^{''} + a y^{'} + b y = c_{B}$ , alors $λ y_{A} + μ y_{B}$ est solution de second membre $λ c_{A} + μ c_{B}$ .
Si $y_{p}$ est une solution particulière de $(E)$ , alors l'ensemble des solutions de $(E)$ est

$S_{E} = {y_{p} + y_{h} y_{h} \in S_{H}} = {y_{p} + λ y_{1} + μ y_{2} (λ, μ) \in R^{2}} .$

La dimension $2$ est une conséquence directe du théorème de Cauchy : l'application qui, à une solution de $(H)$ , associe le couple $(y (t_{0}), y^{'} (t_{0}))$ est linéaire, injective par l'unicité et surjective par l'existence — c'est donc un isomorphisme de $S_{H}$ sur $R^{2}$ . Retenir cette phrase dispense de retenir le résultat.

9.2.2 Deux procédés de résolution explicite

Méthode : Chercher une solution développable en série entière

Poser $y (t) = \sum_{n \geq 0} a_{n} t^{n}$ , de rayon $R > 0$ supposé non nul, et dériver terme à terme : $y^{'} = \sum n a_{n} t^{n - 1}$ , $y^{''} = \sum n (n - 1) a_{n} t^{n - 2}$ .
Reporter dans l'équation et réindexer pour que toutes les sommes portent sur la même puissance $t^{n}$ .
Annuler chaque coefficient : on obtient une relation de récurrence sur $(a_{n})$ , dont $a_{0}$ et $a_{1}$ — c'est-à-dire $y (0)$ et $y^{'} (0)$ — sont les deux paramètres libres, en accord avec la dimension $2$ .
Calculer le rayon de convergence de la série obtenue, et conclure : la somme est solution sur $] - R, R [$ .

Le second procédé s'appuie sur une solution déjà connue, souvent fournie par l'énoncé ou devinée ( $t$ , $e^{t}$ , $\frac{1}{t}$ …), et il ramène l'ordre $2$ à l'ordre $1$ .

Méthode : Abaisser l'ordre à partir d'une solution ne s'annulant pas

On suppose connue une solution $y_{1}$ de $(H)$ qui ne s'annule pas sur $I$ .

Poser $y = z y_{1}$ , avec $z$ pour nouvelle inconnue — le changement est licite parce que $y_{1}$ ne s'annule pas.
Reporter : $y^{'} = z^{'} y_{1} + z y_{1}^{'}$ et $y^{''} = z^{''} y_{1} + 2 z^{'} y_{1}^{'} + z y_{1}^{''}$ . Dans l'équation, les termes en $z$ se regroupent en $z (y_{1}^{''} + a y_{1}^{'} + b y_{1}) = 0$ : ils disparaissent, puisque $y_{1}$ est solution de $(H)$ .
Il reste une équation d'ordre $1$ en $z^{'}$ :

$y_{1} z^{''} + (2 y_{1}^{'} + a y_{1}) z^{'} = c,$

que l'on résout par les méthodes de première année.

Intégrer $z^{'}$ pour obtenir $z$ , puis $y = z y_{1}$ .

ImportantL'hypothèse « ne s'annule pas » n'est pas décorative

Le changement de fonction $y = z y_{1}$ suppose que l'on peut écrire $z = y / y_{1}$ . Si $y_{1}$ s'annule en un point de $I$ , la méthode ne vaut que sur les sous-intervalles où elle ne s'annule pas, et il faut ensuite recoller les solutions — un recollement qui n'est pas automatique et qui doit être justifié.

Exercices du chapitre

Résolution par série entière corrigé
Raccordement — quand Cauchy ne s'applique plus corrigé
L'équation d'Airy et sa récurrence à trois crans corrigé
La plus grande pente corrigé
Coordonnées polaires corrigé
Une EDP du premier ordre corrigé

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