Courbes et Surfaces

Cours complet · mathématiques (PT), chapitre 10 · CPGE PT (2e année)

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10.1 Introduction et vue d'ensemble

Ce chapitre est l'application directe du calcul différentiel qui précède : une équation $f (x, y) = 0$ définit une courbe du plan, une équation $F (x, y, z) = 0$ définit une surface de l'espace, et c'est le gradient qui donne dans les deux cas la direction normale, donc la tangente ou le plan tangent.

Il se lit en deux temps. Les courbes implicites du plan d'abord, avec les coniques comme exemple central — définies par foyer, directrice et excentricité, puis ramenées à leurs équations réduites par le théorème spectral du chapitre 4. Les surfaces ensuite, paramétrées ou cartésiennes : plan tangent, vecteur normal, courbes tracées sur une surface, et les trois familles usuelles (réglées, de révolution, graphes de fonctions). C'est la géométrie de la conception mécanique, de l'usinage et de l'optique des miroirs.

10.2 Courbes du plan définies par une équation cartésienne

Définition 10.1Courbe implicite, ligne de niveau

Soit $f$ une fonction de classe $C^{1}$ sur un ouvert $U$ de $R^{2}$ . La courbe d'équation cartésienne $f (x, y) = 0$ est l'ensemble $Γ = {(x, y) \in U ∣ f (x, y) = 0}$ . Plus généralement, les ensembles ${f = c}$ sont les lignes de niveau de $f$ .

Un point $M_{0} \in Γ$ est régulier si $\nabla f (M_{0}) \neq = 0$ .

◆Théorème 10.2Tangente en un point régulier

En un point régulier $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ de $Γ$ , la courbe admet un paramétrage local de classe $C^{1}$ — ce que l'on admet —, et $\nabla f (M_{0})$ est normal à la tangente. L'équation de la tangente en $M_{0}$ est donc

$\frac{\partial f}{\partial x} (M_{0}) (x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y} (M_{0}) (y - y_{0}) = 0.$

La démonstration tient dans la règle de la chaîne du chapitre précédent : si $γ$ paramètre localement $Γ$ , alors $f \circ γ$ est identiquement nulle, donc sa dérivée l'est, donc $⟨ \nabla f (γ (t)), γ^{'} (t)⟩ = 0$ . Le gradient est orthogonal au vecteur tangent, et il est de plus orienté dans le sens des valeurs croissantes de $f$ : il indique de quel côté de la courbe $f$ devient positive.

10.3 Coniques

Les coniques sont l'exemple par excellence de courbe implicite, et le seul dont le programme demande une connaissance détaillée. On les définit géométriquement, puis on montre que cette définition produit une équation du second degré — et réciproquement.

10.3.1 Définition par foyer, directrice et excentricité

Définition 10.3Conique

Soient $F$ un point du plan, $D$ une droite ne passant pas par $F$ , et $e > 0$ un réel. La conique de foyer $F$ , de directrice $D$ et d'excentricité $e$ est l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant

$M F = e \cdot d (M, D),$

où $d (M, D)$ désigne la distance de $M$ à la droite $D$ .

◆Théorème 10.4Classification par l'excentricité

Selon la valeur de $e$ , la conique est :

une ellipse si $0 < e < 1$ ;
une parabole si $e = 1$ ;
une hyperbole si $e > 1$ .

Dans un repère orthonormé convenablement choisi, elle admet pour équation réduite :

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (ellipse), y^{2} = 2 p x (parabole), \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (hyperbole) .$

Le cercle s'obtient à la limite $e \to 0$ , et n'a pas de directrice.

Les formules donnant $a$ , $b$ et $p$ à partir de $e$ et de la distance du foyer à la directrice ne sont pas exigibles : elles sont fournies au besoin. Ce qui est exigible est de savoir écrire la relation $M F = e d (M, D)$ en coordonnées, de l'élever au carré et de reconnaître l'équation obtenue.

Proposition 10.5Éléments géométriques lus sur une équation réduite

Ellipse $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ avec $a > b > 0$ : centre de symétrie $O$ , axes de symétrie $(O x)$ et $(O y)$ ; le grand axe est porté par $(O x)$ et mesure $2 a$ , le petit axe par $(O y)$ et mesure $2 b$ .
Hyperbole $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : centre $O$ , axes $(O x)$ et $(O y)$ , et deux asymptotes d'équations $y = \pm \frac{b}{a} x$ .
Parabole $y^{2} = 2 p x$ : un seul axe de symétrie, $(O x)$ ; pas de centre.

10.3.2 Reconnaître une conique dans une équation du second degré

◆Théorème 10.6Équation générale du second degré

Soit une équation

$a x^{2} + 2 b x y + c y^{2} + d x + ey + f = 0, (a, b, c) \neq = (0, 0, 0) .$

Elle définit une conique, éventuellement dégénérée (réunion de deux droites, point, ensemble vide).

Méthode : Réduire une équation du second degré

Tout le travail est fait par le théorème spectral du chapitre 4.

Écrire la partie quadratique sous forme matricielle : $a x^{2} + 2 b x y + c y^{2} = X^{⊤} A X$ avec $X = (x y)$ et $A = (a b b c)$ , matrice symétrique réelle.
La diagonaliser en base orthonormée : $A = P D P^{⊤}$ avec $P$ orthogonale, que l'on choisit de déterminant $+ 1$ pour que le changement de repère soit une rotation. Les colonnes de $P$ donnent les axes de la conique, et les valeurs propres $λ_{1}, λ_{2}$ leurs coefficients.
Dans le nouveau repère, l'équation devient $λ_{1} X^{'2} + λ_{2} Y^{'2} + d^{'} X^{'} + e^{'} Y^{'} + f = 0$ : les termes croisés ont disparu.
Achever par une translation (mise sous forme canonique de chaque trinôme) pour placer le centre à l'origine, et lire l'équation réduite.

Le signe des valeurs propres donne la nature avant tout calcul : $λ_{1} λ_{2} > 0$ donne une ellipse, $λ_{1} λ_{2} < 0$ une hyperbole, et une valeur propre nulle une parabole. Les directions propres, elles, ont une lecture géométrique immédiate : ce sont les axes de symétrie de la conique. Le cas $a = c = 0$ mérite d'être retenu à part : l'équation $x y = k$ définit une hyperbole dont les asymptotes sont les axes du repère.

Proposition 10.7Paramétrages

L'ellipse $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ se paramètre par $(x, y) = (a cos t, b sin t)$ , $t \in [0, 2 π]$ .
L'hyperbole $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ se paramètre par $(x, y) = (ε a cosh t, b sinh t)$ , $t \in R$ , où $ε = + 1$ décrit la branche $x > 0$ et $ε = - 1$ la branche $x < 0$ : les deux branches se paramètrent séparément.

Les deux paramétrages ont la même origine — l'identité $cos^{2} + sin^{2} = 1$ d'un côté, $cosh^{2} - sinh^{2} = 1$ de l'autre — et c'est le signe entre les deux carrés de l'équation réduite qui décide lequel employer.

Figure : Les trois coniques, engendrées par un même foyer

F

et une même

directrice $D$ : seule l'excentricité change. Tant que $e < 1$ la condition $M F = e d (M, D)$ oblige le point à rester près du foyer et la courbe se referme — c'est l'ellipse. À $e = 1$ elle ne se referme plus : la parabole s'échappe à l'infini en restant à égale distance du foyer et de la directrice. Au-delà, la courbe s'ouvre plus vite encore. La classification n'est donc pas une liste de trois cas séparés, mais la lecture d'un seul paramètre continu.</div>

10.4 Surfaces paramétrées et cartésiennes

10.4.1 Nappes paramétrées, Plan tangent et Vecteur normal

Définition 10.8Nappe paramétrée

Une nappe paramétrée de classe $C^{k}$ ( $k \geq 1$ ) dans l'espace $R^{3}$ est une application :

$M : U \subset R^{2} \to R^{3}, (u, v) \mapsto O M (u, v) = x (u, v) y (u, v) z (u, v) .$

Les vecteurs tangents partiels sont $T_{u} = \frac{\partial M}{\partial u}$ et $T_{v} = \frac{\partial M}{\partial v}$ .
Le point $M (u, v)$ est dit régulier si la famille $(T_{u}, T_{v})$ est libre, soit :

$T_{u} \land T_{v} \neq = 0 .$

Les courbes coordonnées passant par $M (u_{0}, v_{0})$ sont les deux courbes obtenues en figeant l'un des paramètres : $u \mapsto M (u, v_{0})$ et $v \mapsto M (u_{0}, v)$ . Leurs vecteurs tangents sont précisément $T_{u}$ et $T_{v}$ .
En un point régulier, le plan tangent à la surface en $M$ , noté $T_{M} S$ , est le plan affine passant par $M$ et dirigé par la base $(T_{u}, T_{v})$ — c'est-à-dire, par définition, dirigé par les tangentes aux deux courbes coordonnées.
Le vecteur normal unitaire est $n (u, v) = \frac{T _{u} \land T _{v}}{∥ T _{u} \land T _{v} ∥}$ , et la droite normale en $M$ est la droite passant par $M$ et dirigée par $n$ .

Les courbes coordonnées sont la façon concrète de se représenter une surface paramétrée : ce sont les deux familles de courbes que dessine un quadrillage tracé dans le domaine des paramètres, puis transporté sur la surface. Sur une sphère paramétrée par la latitude et la longitude, ce sont les parallèles et les méridiens.

10.4.2 Surfaces définies par une équation implicite $F (x, y, z) = 0$

◆Théorème 10.9Plan tangent d'une surface implicite

Soit $S$ la surface d'équation cartésienne $F (x, y, z) = 0$ , où $F$ est de classe $C^{1}$ sur un ouvert de $R^{3}$ . En tout point régulier $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in S$ vérifiant $\nabla F (M_{0}) \neq = 0$ :

Le vecteur normal à la surface en $M_{0}$ est le gradient : $n = \nabla F (M_{0}) = (\frac{\partial F}{\partial x} (M_{0}), \frac{\partial F}{\partial y} (M_{0}), \frac{\partial F}{\partial z} (M_{0}))^{⊤}$ .
L'équation cartésienne du plan tangent en $M_{0}$ est :

$\frac{\partial F}{\partial x} (M_{0}) (x - x_{0}) + \frac{\partial F}{\partial y} (M_{0}) (y - y_{0}) + \frac{\partial F}{\partial z} (M_{0}) (z - z_{0}) = 0.$

Comme dans le plan, l'ensemble ${F = c}$ s'appelle une surface de niveau de $F$ , et le gradient, lorsqu'il est non nul, lui est orthogonal et pointe dans le sens des valeurs croissantes de $F$ . Une surface cartésienne est donc simplement la surface de niveau $0$ de $F$ , et l'on admet qu'elle admet au voisinage de tout point régulier un paramétrage local de classe $C^{1}$ — ce qui autorise à lui appliquer tout ce qui précède.

10.4.3 Courbes tracées sur une surface

Définition 10.10Courbe tracée sur une surface

Une courbe paramétrée $Γ : t \mapsto M (t)$ de classe $C^{1}$ est tracée sur la surface $Σ$ si $M (t) \in Σ$ pour tout $t$ . Concrètement :

si $Σ$ est paramétrée par $(u, v) \mapsto M (u, v)$ , il suffit de se donner $t \mapsto (u (t), v (t))$ de classe $C^{1}$ et de poser $M (t) = M (u (t), v (t))$ ;
si $Σ$ a pour équation $F (x, y, z) = 0$ , la condition s'écrit $F (x (t), y (t), z (t)) = 0$ pour tout $t$ .

◆Théorème 10.11La tangente d'une courbe tracée est dans le plan tangent

Soit $Γ$ une courbe tracée sur une surface $Σ$ , et $M$ un point régulier à la fois de $Σ$ et de $Γ$ . Alors la tangente en $M$ à $Γ$ est incluse dans le plan tangent en $M$ à $Σ$ .

La démonstration est la même qu'au début du chapitre, et c'est toujours la règle de la chaîne : dériver l'identité $F (M (t)) = 0$ donne $⟨ \nabla F (M), M^{'} (t) ⟩ = 0$ , c'est-à-dire que le vecteur tangent à $Γ$ est orthogonal à la normale de $Σ$ — donc dans le plan tangent.

Le résultat est l'outil de calcul du plan tangent le plus économique : plutôt que de dériver un paramétrage, on exhibe deux courbes tracées sur la surface et passant par le point, et leurs deux tangentes engendrent le plan. Sur une surface réglée, l'une des deux est toute trouvée — c'est la génératrice elle-même, une droite, entièrement contenue dans la surface, donc contenue dans le plan tangent en chacun de ses points.

10.5 Surfaces usuelles : Cylindres, Cônes et Révolution

Ces trois familles se reconnaissent à la forme de leur équation, et cette reconnaissance est l'essentiel du travail. Un cylindre est engendré par des droites toutes parallèles à une direction fixe : son équation ne fait pas intervenir la coordonnée le long de cette direction. Un cône est engendré par des droites passant toutes par un même sommet : son équation est homogène. Une surface de révolution est invariante par rotation autour d'un axe : son équation ne dépend que de la distance à cet axe et de la cote.

D'où la méthode, dans les deux sens : d'une équation on lit la nature de la surface, et d'une description géométrique on écrit l'équation en traduisant l'invariance qui la caractérise.

Proposition 10.12Surfaces remarquables

Cylindre d'axe $(O z)$ et de directrice $Γ$ : surface engendrée par des droites parallèles à $(O z)$ . Son équation cartésienne est indépendante de $z$ : $f (x, y) = 0$ .
Cône de sommet $O$ et de directrice $Γ$ : surface engendrée par des droites passant par $O$ . Son équation cartésienne est homogène : $F (t x, t y, t z) = t^{k} F (x, y, z)$ pour tout $t$ , de sorte que $F (M) = 0$ entraîne $F (tM) = 0$ — la nullité se propage le long de la droite $(O M)$ .
Surface de révolution d'axe $(O z)$ : surface engendrée par la rotation d'une courbe plane autour de $(O z)$ . Son équation s'écrit sous la forme $F (x^{2} + y^{2}, z) = 0$ (ou $z = f (x^{2} + y^{2})$ ).

10.5.1 Le graphe d'une fonction de deux variables

Proposition 10.13Surface d'équation

z = f (x, y)

Soit $f$ de classe $C^{1}$ sur un ouvert de $R^{2}$ . Son graphe

$Σ = {(x, y, f (x, y))}$

est une surface, que l'on peut voir indifféremment comme paramétrée par $(x, y) \mapsto (x, y, f (x, y))$ ou comme définie par l'équation cartésienne $F (x, y, z) = f (x, y) - z = 0$ . Tous ses points sont réguliers, et son plan tangent en $(a, b, f (a, b))$ a pour équation

$z = f (a, b) + \frac{\partial f}{\partial x} (a, b) (x - a) + \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) (y - b) .$

On reconnaît la formule de Taylor-Young à l'ordre 1 : le plan tangent est le graphe de l'approximation affine de $f$ . Cette lecture donne son sens géométrique à l'étude des points critiques du chapitre précédent — en un point critique, le gradient est nul, donc le plan tangent est horizontal, et la nature du point critique dit de quel côté la surface s'écarte de ce plan : au-dessus pour un minimum, au-dessous pour un maximum, des deux côtés pour un col.

Proposition 10.14Ce que la structure d'une surface donne au plan tangent

Si $Σ$ est une surface réglée, le plan tangent en un point régulier contient la génératrice passant par ce point.
Si $Σ$ est une surface de révolution d'axe $(O z)$ , obtenue en faisant tourner une méridienne, un paramétrage s'écrit

$(u, θ) ⟼ R_{θ} \cdot M (u), o u ˋ R_{θ} = cos θ sin θ 0 - sin θ cos θ 0 001$

est la matrice de rotation d'angle $θ$ autour de $(O z)$ et $M (u)$ parcourt la méridienne.

Le point 1 est le théorème des courbes tracées, appliqué au cas le plus simple : la génératrice est une droite entièrement contenue dans la surface, donc une courbe tracée sur elle, donc sa tangente — elle-même — est dans le plan tangent. C'est aussi la façon la plus rapide de calculer un plan tangent sur une surface réglée : la génératrice en donne une direction gratuitement, il n'en reste qu'une à trouver.

Le point 2 fait le lien avec le chapitre 4 : écrire une surface de révolution, c'est appliquer à une courbe la famille des rotations autour de l'axe, et les matrices orthogonales de déterminant $+ 1$ sont exactement l'outil qui décrit ce mouvement. On en tire aussi l'équation cartésienne : un point appartient à la surface si et seulement si sa distance à l'axe et sa cote satisfont l'équation de la méridienne, c'est-à-dire si $(x^{2} + y^{2}, z)$ est sur la méridienne.

10.6 Courbes de l'espace définies par un système d'équations cartésiennes

Une surface est définie par une équation ; une courbe de l'espace en demande deux — elle est l'intersection de deux surfaces.

Définition 10.15Courbe définie par un système, point régulier

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $C^{1}$ sur un ouvert de $R^{3}$ . La courbe $Γ$ définie par le système

${f (x, y, z) = 0 g (x, y, z) = 0$

est l'intersection des deux surfaces d'équations $f = 0$ et $g = 0$ . Un point $M \in Γ$ est dit régulier si les gradients $\nabla f (M)$ et $\nabla g (M)$ sont linéairement indépendants.

La condition de régularité dit exactement que les deux surfaces se coupent transversalement : leurs plans tangents en $M$ sont distincts, et leur intersection est bien une droite et non un plan entier. Si les deux gradients étaient colinéaires, les surfaces seraient tangentes l'une à l'autre en $M$ , et leur intersection pourrait y être tout autre chose qu'une courbe régulière.

◆Théorème 10.16Tangente en un point régulier

En un point régulier $M$ de $Γ$ , la tangente à $Γ$ est la droite passant par $M$ et dirigée par

$\nabla f (M) \land \nabla g (M) .$

La raison est immédiate à partir du chapitre : $Γ$ est tracée à la fois sur la surface $f = 0$ et sur la surface $g = 0$ , donc sa tangente est contenue dans les deux plans tangents ; elle est donc orthogonale à $\nabla f (M)$ et à $\nabla g (M)$ à la fois, c'est-à-dire portée par leur produit vectoriel — non nul précisément parce que les deux gradients sont indépendants.

ImportantLe cas des sections planes

Le cas le plus fréquent est celui où l'une des deux équations est celle d'un plan, typiquement $z = k$ : la courbe obtenue est alors une ligne de niveau de la surface. C'est le procédé employé pour visualiser l'allure d'une surface sans la dessiner en perspective — on la coupe par une famille de plans parallèles et l'on suit la déformation des courbes obtenues, exactement comme une carte d'état-major représente un relief par ses courbes de niveau.

10.7 Exemples de surfaces étudiées par sections planes

Le programme ne demande aucune classification des surfaces du second degré, et n'attend d'aucun étudiant qu'il sache reconnaître une quadrique à son équation. Ce qu'il attend est une familiarité avec la représentation des surfaces : savoir en imaginer la forme à partir de son équation, et pour cela couper par des plans.

Méthode : Reconnaître la forme d'une surface par ses sections

Couper par les plans $z = k$ : on obtient une courbe du plan, dont on suit la déformation quand $k$ varie. Une famille d'ellipses qui grandissent puis disparaissent dessine une surface fermée ; une famille d'ellipses qui ne cessent de grandir dessine une surface qui s'évase.
Recommencer avec les plans $x = k$ et $y = k$ : des paraboles, des hyperboles ou des droites y apparaissent, et leur nature dit comment la surface se creuse.
Chercher les symétries de l'équation — invariance par $x \mapsto - x$ , par rotation autour d'un axe, par homothétie — pour n'étudier qu'un huitième de la surface.
Chercher enfin les droites tracées sur la surface : si l'équation se factorise en un produit de deux facteurs égal à un autre produit, la surface est réglée.

Ces deux surfaces sont les exemples les plus utiles à avoir en tête. La première, d'équation $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$ , est bornée : ses sections horizontales sont des ellipses qui naissent en $z = - c$ , grandissent, puis s'éteignent en $z = c$ . La seconde, d'équation $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} - \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$ , ne l'est pas : ses sections horizontales sont des ellipses qui ne cessent de croître, et elle a la propriété remarquable d'être réglée — deux droites y passent par chaque point, ce que l'exercice de fin de chapitre établit. C'est la forme des tours de refroidissement, que l'on bâtit ainsi en poutres droites.

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