Courbes et Surfaces

Cours · mathématiques (PT), chapitre 10 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La surface d'équation z = x² + y², un paraboloïde, et ses sections horizontales.

10.1 Introduction et vue d'ensemble

Ce chapitre est l'application directe du calcul différentiel qui précède : une équation $f (x, y) = 0$ définit une courbe du plan, une équation $F (x, y, z) = 0$ définit une surface de l'espace, et c'est le gradient qui donne dans les deux cas la direction normale, donc la tangente ou le plan tangent.

Il se lit en deux temps. Les courbes implicites du plan d'abord, avec les coniques comme exemple central — définies par foyer, directrice et excentricité, puis ramenées à leurs équations réduites par le théorème spectral du chapitre 4. Les surfaces ensuite, paramétrées ou cartésiennes : plan tangent, vecteur normal, courbes tracées sur une surface, et les trois familles usuelles (réglées, de révolution, graphes de fonctions). C'est la géométrie de la conception mécanique, de l'usinage et de l'optique des miroirs.

10.2 Courbes du plan définies par une équation cartésienne

Définition 10.1Courbe implicite, ligne de niveau

Soit $f$ une fonction de classe $C^{1}$ sur un ouvert $U$ de $R^{2}$ . La courbe d'équation cartésienne $f (x, y) = 0$ est l'ensemble $Γ = {(x, y) \in U ∣ f (x, y) = 0}$ . Plus généralement, les ensembles ${f = c}$ sont les lignes de niveau de $f$ .

Un point $M_{0} \in Γ$ est régulier si $\nabla f (M_{0}) \neq = 0$ .

◆Théorème 10.2Tangente en un point régulier

En un point régulier $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ de $Γ$ , la courbe admet un paramétrage local de classe $C^{1}$ — ce que l'on admet —, et $\nabla f (M_{0})$ est normal à la tangente. L'équation de la tangente en $M_{0}$ est donc

$\frac{\partial f}{\partial x} (M_{0}) (x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y} (M_{0}) (y - y_{0}) = 0.$

La démonstration tient dans la règle de la chaîne du chapitre précédent : si $γ$ paramètre localement $Γ$ , alors $f \circ γ$ est identiquement nulle, donc sa dérivée l'est, donc $⟨ \nabla f (γ (t)), γ^{'} (t)⟩ = 0$ . Le gradient est orthogonal au vecteur tangent, et il est de plus orienté dans le sens des valeurs croissantes de $f$ : il indique de quel côté de la courbe $f$ devient positive.

10.3 Coniques

Les coniques sont l'exemple par excellence de courbe implicite, et le seul dont le programme demande une connaissance détaillée. On les définit géométriquement, puis on montre que cette définition produit une équation du second degré — et réciproquement.

10.3.1 Définition par foyer, directrice et excentricité

Définition 10.3Conique

Soient $F$ un point du plan, $D$ une droite ne passant pas par $F$ , et $e > 0$ un réel. La conique de foyer $F$ , de directrice $D$ et d'excentricité $e$ est l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant

$M F = e \cdot d (M, D),$

où $d (M, D)$ désigne la distance de $M$ à la droite $D$ .

◆Théorème 10.4Classification par l'excentricité

Selon la valeur de $e$ , la conique est :

une ellipse si $0 < e < 1$ ;
une parabole si $e = 1$ ;
une hyperbole si $e > 1$ .

Dans un repère orthonormé convenablement choisi, elle admet pour équation réduite :

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (ellipse), y^{2} = 2 p x (parabole), \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (hyperbole) .$

Le cercle s'obtient à la limite $e \to 0$ , et n'a pas de directrice.

Les formules donnant $a$ , $b$ et $p$ à partir de $e$ et de la distance du foyer à la directrice ne sont pas exigibles : elles sont fournies au besoin. Ce qui est exigible est de savoir écrire la relation $M F = e d (M, D)$ en coordonnées, de l'élever au carré et de reconnaître l'équation obtenue.

Proposition 10.5Éléments géométriques lus sur une équation réduite

Ellipse $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ avec $a > b > 0$ : centre de symétrie $O$ , axes de symétrie $(O x)$ et $(O y)$ ; le grand axe est porté par $(O x)$ et mesure $2 a$ , le petit axe par $(O y)$ et mesure $2 b$ .
Hyperbole $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : centre $O$ , axes $(O x)$ et $(O y)$ , et deux asymptotes d'équations $y = \pm \frac{b}{a} x$ .
Parabole $y^{2} = 2 p x$ : un seul axe de symétrie, $(O x)$ ; pas de centre.

10.3.2 Reconnaître une conique dans une équation du second degré

◆Théorème 10.6Équation générale du second degré

Soit une équation

$a x^{2} + 2 b x y + c y^{2} + d x + ey + f = 0, (a, b, c) \neq = (0, 0, 0) .$

Elle définit une conique, éventuellement dégénérée (réunion de deux droites, point, ensemble vide).

Méthode : Réduire une équation du second degré

Tout le travail est fait par le théorème spectral du chapitre 4.

Écrire la partie quadratique sous forme matricielle : $a x^{2} + 2 b x y + c y^{2} = X^{⊤} A X$ avec $X = (x y)$ et $A = (a b b c)$ , matrice symétrique réelle.
La diagonaliser en base orthonormée : $A = P D P^{⊤}$ avec $P$ orthogonale, que l'on choisit de déterminant $+ 1$ pour que le changement de repère soit une rotation. Les colonnes de $P$ donnent les axes de la conique, et les valeurs propres $λ_{1}, λ_{2}$ leurs coefficients.
Dans le nouveau repère, l'équation devient $λ_{1} X^{'2} + λ_{2} Y^{'2} + d^{'} X^{'} + e^{'} Y^{'} + f = 0$ : les termes croisés ont disparu.
Achever par une translation (mise sous forme canonique de chaque trinôme) pour placer le centre à l'origine, et lire l'équation réduite.

Exercices du chapitre

Tangente au folium de Descartes corrigé
Le gradient, normal à la ligne de niveau corrigé
Deux familles de courbes qui se coupent à angle droit corrigé
De la définition géométrique à l'équation réduite corrigé
La parabole, et sa tangente corrigé
Une hyperbole : tangente et paramétrage corrigé

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