Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes

Cours · mathématiques (PT), chapitre 11 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La loi d'une variable aléatoire discrète, en bâtons, et son espérance.

11.1 Introduction et modélisation probabiliste

La théorie moderne des probabilités, axiomatisée par Andreï Kolmogorov en 1933, constitue le socle mathématique rigoureux de l'analyse des phénomènes aléatoires. En physique, en sciences industrielles et en ingénierie de pointe, elle est indispensable : mécanique statistique, bruit thermique dans les capteurs électroniques, fiabilité des composants critiques aéronautiques, théorie de l'information de Shannon, files d'attente et algorithmes d'apprentissage automatique.

En classe de PT, l'étude porte sur les espaces probabilisés généraux $(Ω, T, P)$ , la manipulation des événements (continuité de la mesure de probabilité, probabilités totales, formule de Bayes), l'analyse des variables aléatoires discrètes (à valeurs finies ou dénombrables) et de leurs moments (espérance, variance, inégalités de concentration), les lois fondamentales et les couples de variables aléatoires.

11.2 Espaces probabilisés $(Ω, T, P)$ et axiomatique

11.2.1 Tribus et notion d'événement

Définition 11.1Tribu /

σ

-algèbre

Soit $Ω$ un ensemble non vide appelé univers. Une famille $T$ de parties de $Ω$ est appelée une tribu (ou $σ$ -algèbre) sur $Ω$ si elle vérifie les trois axiomes suivants :

L'univers appartient à la tribu : $Ω \in T$ .
Stabilité par passage au complémentaire : pour tout $A \in T$ , son complémentaire $A^{c} = Ω ∖ A$ appartient à $T$ .
Stabilité par union dénombrable : pour toute suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'éléments de $T$ , $⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n} \in T$ .

Le couple $(Ω, T)$ est appelé un espace probabilisable. Les éléments de $T$ sont appelés les événements.

iRemarque

Par les lois de De Morgan, une tribu est également stable par intersection dénombrable :

$n = 0 ⋂ + \infty A_{n} = (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}^{c})^{c} \in T .$

De plus, $\emptyset = Ω^{c} \in T$ est l'événement impossible, tandis que $Ω$ est l'événement certain.

11.2.2 Mesure de probabilité et théorèmes de continuité

Définition 11.2Probabilité de Kolmogorov

Soit $(Ω, T)$ un espace probabilisable. Une probabilité sur $(Ω, T)$ est une application $P : T \to [0, 1]$ satisfaisant :

Normalisation : $P (Ω) = 1$ .
$σ$ -additivité : pour toute suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'événements deux à deux disjoints ( $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ pour $i \neq = j$ ) :

$P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) = n = 0 \sum + \infty P (A_{n}) .$

Le triplet $(Ω, T, P)$ est alors appelé un espace probabilisé.

Proposition 11.3Propriétés immédiates de la probabilité

Soit $(Ω, T, P)$ un espace probabilisé.

$P (\emptyset) = 0$ .
Pour tout $A \in T$ , $P (A^{c}) = 1 - P (A)$ .
Croissance : si $A \subset B$ , alors $P (B ∖ A) = P (B) - P (A)$ et $P (A) \leq P (B)$ .
Formule du crible (Poincaré à 2 événements) : pour tous $A, B \in T$ :

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .$

Sous-additivité dénombrable : pour toute suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'événements quelconques :

$P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) \leq n = 0 \sum + \infty P (A_{n}) .$

◆Théorème 11.4Théorème de continuité croissante et décroissante

Soit $(Ω, T, P)$ un espace probabilisé.

Continuité croissante : Soit $(A_{n})_{n \in N}$ une suite croissante d'événements ( $A_{n} \subset A_{n + 1}$ pour tout $n$ ). Alors :

$P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) = n \to + \infty lim P (A_{n}) .$

Continuité décroissante : Soit $(B_{n})_{n \in N}$ une suite décroissante d'événements ( $B_{n + 1} \subset B_{n}$ pour tout $n$ ). Alors :

$P (n = 0 ⋂ + \infty B_{n}) = n \to + \infty lim P (B_{n}) .$

Démonstration

Posons $C_{0} = A_{0}$ et pour tout $k \geq 1$ , $C_{k} = A_{k} ∖ A_{k - 1}$ . Les $(C_{k})_{k \in N}$ sont deux à deux disjoints et vérifient $⋃_{k = 0}^{n} C_{k} = A_{n}$ , d'où $⋃_{k = 0}^{+ \infty} C_{k} = ⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n}$ .
Par $σ$ -additivité de la mesure $P$ :

$P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) = P (k = 0 ⋃ + \infty C_{k}) = k = 0 \sum + \infty P (C_{k}) = n \to + \infty lim k = 0 \sum n P (C_{k}),$

puis, la somme partielle étant la probabilité d'une réunion finie de disjoints,

$n \to + \infty lim k = 0 \sum n P (C_{k}) = n \to + \infty lim P (k = 0 ⋃ n C_{k}) = n \to + \infty lim P (A_{n}) .$

Pour la continuité décroissante, on applique la continuité croissante à la suite complémentaire $A_{n} = B_{n}^{c}$ , qui est croissante, et on utilise $P (⋂ B_{n}) = 1 - P (⋃ A_{n})$ .

11.3 Probabilités conditionnelles, Formule des probabilités totales et Bayes

11.3.1 Probabilité conditionnelle et indépendance

Définition 11.5Probabilité conditionnelle

Soit $B \in T$ tel que $P (B) > 0$ . Pour tout événement $A \in T$ , la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ , notée $P (A ∣ B)$ ou $P_{B} (A)$ , est définie par :

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} .$

L'application $P_{B} : A \mapsto P (A ∣ B)$ est elle-même une probabilité sur $(Ω, T)$ .

Définition 11.6Indépendance d'événements

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ . Si $P (B) > 0$ , cela équivaut à $P (A ∣ B) = P (A)$ .
Une famille $(A_{i})_{i \in I}$ d'événements est mutuellement indépendante si pour toute sous-famille finie $J \subset I$ :

$P j \in J ⋂ A_{j} = j \in J \prod P (A_{j}) .$

ImportantContre-exemple classique de Bernstein

L'indépendance deux à deux n'implique pas l'indépendance mutuelle ! Le contre-exemple classique de Bernstein consiste à lancer deux pièces équilibrées et à considérer $A = {1er lancer est Pile}$ , $B = {2e lancer est Pile}$ , $C = {les deux lancers sont identiques}$ . $A, B, C$ sont 2 à 2 indépendants mais $P (A \cap B \cap C) = 1/4 \neq = 1/8 = P (A) P (B) P (C)$ .

11.3.2 Système complet d'événements, Probabilités totales et Bayes

Définition 11.7Système complet d'événements

On appelle système complet d'événements (SCE) une famille $(A_{i})_{i \in I}$ (avec $I$ fini ou dénombrable) d'événements vérifiant :

Deux à deux incompatibles : $\forall i \neq = j, A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ .
Réunion égale à l'univers : $⋃_{i \in I} A_{i} = Ω$ .

Si de plus $\forall i \in I, P (A_{i}) > 0$ , on parle de SCE propre. (Si $\sum_{i \in I} P (A_{i}) = 1$ , la famille forme un système quasi-complet).

◆Théorème 11.8Formule des probabilités composées

Soient $A_{1}, \dots, A_{n}$ des événements tels que $P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) > 0$ . Alors

$P (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} \cap A_{2}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1}) .$

C'est la formule des expériences séquentielles : chaque facteur est la probabilité de l'étape suivante sachant tout ce qui précède, et le produit se lit le long d'une branche d'arbre. Elle se démontre en écrivant chaque conditionnelle comme un quotient — tout se télescope.

◆Théorème 11.9Formule des probabilités totales

Soit $(A_{i})_{i \in I}$ un système complet (ou quasi-complet) d'événements vérifiant $P (A_{i}) > 0$ pour tout $i \in I$ . Alors pour tout événement $B \in T$ :

$P (B) = i \in I \sum P (B \cap A_{i}) = i \in I \sum P (B ∣ A_{i}) P (A_{i}) .$

◆Théorème 11.10Formule de Bayes (Probabilités des causes)

Soit $(A_{i})_{i \in I}$ un système complet d'événements ( $P (A_{i}) > 0$ ). Pour tout événement $B$ tel que $P (B) > 0$ , et pour tout indice fixé $k \in I$ :

$P (A_{k} ∣ B) = \frac{P ( B ∣ A _{k} ) P ( A _{k} )}{P ( B )} = \frac{P ( B ∣ A _{k} ) P ( A _{k} )}{\sum _{i \in I} P ( B ∣ A _{i} ) P ( A _{i} )} .$

11.4 Variables aléatoires discrètes et loi de probabilité

Définition 11.11Variable aléatoire discrète

Une application $X : Ω \to E$ (où $E \subset R$ ) est appelée une variable aléatoire discrète réelle si :

L'ensemble des valeurs prises $X (Ω)$ est au plus dénombrable (fini ou indexable par $N$ ).
Pour tout $x \in X (Ω)$ , l'image réciproque ${X = x} = X^{- 1} ({x}) = {ω \in Ω ∣ X (ω) = x}$ appartient à la tribu $T$ .

Proposition 11.12Caractérisation de la loi de probabilité

La loi de probabilité de la variable discrète $X$ est entièrement déterminée par la famille de nombres réels $(P (X = x))_{x \in X (Ω)}$ , qui vérifie :

$\forall x \in X (Ω), P (X = x) \geq 0$ .
$\sum_{x \in X (Ω)} P (X = x) = 1$ (sommabilité de la famille).

Pour toute partie $A \subset R$ , $P (X \in A) = \sum_{x \in X (Ω) \cap A} P (X = x)$ .

Exercices du chapitre

Construire une probabilité sur N corrigé
La loi géométrique de bout en bout corrigé
La loi de Poisson de bout en bout corrigé
L'absence de mémoire caractérise la géométrique corrigé
La loi des petits nombres corrigé
Le minimum de géométriques indépendantes corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre