Exercices corrigés — Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries (mathématiques (PT))
19 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
Niveau ★ — application directe du cours
- Vérifier une matrice orthogonale Exercice de TD
- Reconnaître les isométries du plan Exercice de TD
Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire
- Matrice d'une réflexion Exercice de TD
- Une rotation de l'espace Exercice de TD
D. Reconnaître une matrice orthogonale : colonnes puis déterminant
- Reconnaître une matrice orthogonale du plan Exercice de TD
- Matrices de permutation et signature Exercice de TD
E. Structure du groupe orthogonal et propriétés des isométries
- Le groupe orthogonal et son sous-groupe des rotations Exercice de TD
- Conserver le produit scalaire entraîne la linéarité Exercice de TD
- Spectre réel d'une isométrie et taille de ses coefficients Exercice de TD
F. Rotations planes : angles, nombres complexes, valeurs propres
- Les rotations planes et les nombres complexes de module 1 Exercice de TD
- Une rotation du plan n'a pas de valeur propre réelle Exercice de TD
G. Isométries indirectes de l'espace : les anti-rotations
- Isométries indirectes de l'espace : les anti-rotations Exercice de TD
A. Matrices orthogonales et groupe orthogonal
- Toute matrice inversible s'écrit orthogonale fois triangulaire, d'une seule façon Exercice de TD
- Déterminer tous les triplets … pour lesquels la matrice … est orthogonale, et… Application directe du cours
B. Le plan euclidien : rotations et réflexions
- La conjugaison retourne l'angle, et le centre se réduit à deux matrices Exercice de TD
- (⋆) Soient … et …. Vérifier que A, B ∈ O₂(ℝ) et identifier… Application directe du cours
C. Isométries de l'espace : axe et angle
- Identifier (rotation Application directe du cours
E. Matrices symétriques positives et définies positives
- (⋆) Pour a ∈ ℝ, soit …. Déterminer le spectre de A(a), puis les… Application directe du cours