Exercices corrigés — Espaces Préhilbertiens Réels et Espaces Euclidiens (mathématiques (PT))
20 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
Niveau ★ — application directe du cours
- Est-ce un produit scalaire ? Exercice de TD
- Une norme est-elle euclidienne ? Exercice de TD
- Cauchy-Schwarz, les deux versions Exercice de TD
Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire
- Gram-Schmidt, sans une racine carrée avant la fin Exercice de TD
- Le théorème spectral en action Exercice de TD
- Distance à un hyperplan Exercice de TD
Niveau ★★★ — approfondissement
- Inégalité de Bessel et meilleure approximation affine Exercice de TD
- Positif, défini positif Exercice de TD
- Racine carrée d'une matrice symétrique positive Exercice de TD
- Le quotient de Rayleigh Exercice de TD
A. Reconnaître un produit scalaire, projeter, approcher
- Le parallélogramme décide, la polarisation reconstruit Exercice de TD
- Projection sur (1,,) et coefficients de Fourier Exercice de TD
B. Matrices symétriques positives : racine carrée et décomposition polaire
- Trace du produit de deux matrices symétriques positives Exercice de TD
- La décomposition polaire d'une matrice inversible Exercice de TD
Z. Problèmes de concours corrigés
- Polynômes orthogonaux de Legendre et distance minimale Exercice de TD
- Parmi les applications suivantes de ℝ² × ℝ² dans ℝ, lesquelles sont… Application directe du cours
- Sur Mₙ(ℝ), montrer que ⟨ A, B⟩ = Tr (A^⊤B ) est un produit scalaire et… Application directe du cours
- Orthonormaliser ((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) ) dans ℝ³ canonique (on… Application directe du cours
- Dans ℝ³ canonique, soit F le plan d'équation x + 2y - z = 0. Application directe du cours
- Diagonaliser en base orthonormée Application directe du cours