Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants

Cours · mathématiques (PT), chapitre 1 · CPGE PT (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La valeur absolue du déterminant de deux vecteurs est l'aire du parallélogramme qu'ils forment.

1.1 Introduction et vue d'ensemble

L'algèbre linéaire constitue le langage universel de l'ingénieur, du physicien et du mathématicien appliqué. En deuxième année de CPGE PT, l'objectif est d'approfondir la structure des espaces vectoriels de dimension finie en reliant la géométrie vectorielle intrinsèque — sommes directes, sous-espaces stables, projecteurs et symétries, hyperplans — à deux outils de calcul qui la rendent effective : la trace et le déterminant.

Dans les sciences de l'ingénieur, ces outils permettent de modéliser les systèmes dynamiques multivariables, d'étudier la commandabilité et l'observabilité des robots, et de résoudre efficacement les grands systèmes linéaires issus de la discrétisation par éléments finis.

Figure : Un projecteur décompose l'espace. Tout vecteur

x

s'écrit d'une seule

manière comme la somme de sa projection $p (x)$ , qui vit dans $F = ker (p - id)$ , et du reste $x - p (x)$ , qui vit dans $G = ker (p)$ : c'est exactement le contenu de l'égalité $E = Im (p) \oplus ker (p)$ . La direction de la projection est celle de $G$ , et changer $G$ en gardant $F$ donne un autre projecteur sur le même

sous-espace.

1.2 Produit d'espaces vectoriels et sommes de sous-espaces

Décomposer, c'est écrire un objet compliqué comme un assemblage d'objets simples, et tout ce chapitre en vit. Deux constructions permettent cet assemblage : le produit, qui fabrique un nouvel espace à partir de plusieurs, et la somme, qui reconstitue un espace à partir de sous-espaces qu'il contient déjà. La seconde n'est utile que lorsqu'elle est directe, c'est-à-dire lorsque la décomposition est unique.

Définition 1.1Produit d'espaces vectoriels

Soient $E_{1}, \dots, E_{p}$ des $K$ -espaces vectoriels. Leur produit $E_{1} \times \dots \times E_{p}$ est l'ensemble des $p$ -uplets $(x_{1}, \dots, x_{p})$ avec $x_{i} \in E_{i}$ , muni des opérations composante par composante. C'est un $K$ -espace vectoriel, et si chaque $E_{i}$ est de dimension finie,

$dim (E_{1} \times \dots \times E_{p}) = i = 1 \sum p dim E_{i} .$

Définition 1.2Somme et somme directe de sous-espaces

Soient $F_{1}, \dots, F_{p}$ des sous-espaces vectoriels d'un même espace $E$ . Leur somme est

$F_{1} + \dots + F_{p} = {x_{1} + \dots + x_{p} ∣ x_{i} \in F_{i}},$

c'est le plus petit sous-espace de $E$ contenant tous les $F_{i}$ . Cette somme est dite directe, et notée $F_{1} \oplus \dots \oplus F_{p}$ , lorsque tout vecteur de la somme se décompose d'une unique manière en $x_{1} + \dots + x_{p}$ avec $x_{i} \in F_{i}$ .

Proposition 1.3Caractérisation par le vecteur nul

La somme $F_{1} + \dots + F_{p}$ est directe si et seulement si la seule décomposition du vecteur nul est la décomposition triviale :

$x_{1} + \dots + x_{p} = 0 avec x_{i} \in F_{i} ⟹ x_{1} = \dots = x_{p} = 0.$

ImportantÀ trois sous-espaces ou plus, c'est la seule caractérisation

Pour deux sous-espaces, la somme est directe si et seulement si $F_{1} \cap F_{2} = {0}$ . Cette condition ne se généralise pas : trois droites distinctes d'un même plan se coupent deux à deux en ${0}$ sans que leur somme soit directe — elle vaut le plan tout entier, de dimension $2$ , alors que la somme des dimensions vaut $3$ . Au-delà de deux sous-espaces, la caractérisation par le vecteur nul est la seule au programme, et c'est celle qu'il faut employer.

Proposition 1.4Base adaptée et dimension

Si $E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{p}$ en dimension finie, la concaténation d'une base de chaque $F_{i}$ forme une base de $E$ , dite adaptée à la décomposition. En particulier

$dim E = i = 1 \sum p dim F_{i} .$

Réciproquement, si la somme des dimensions vaut $dim E$ et que la somme est directe, alors elle est égale à $E$ .

C'est dans une telle base que les matrices se simplifient : la section suivante montre qu'une décomposition en sous-espaces stables fait apparaître une matrice diagonale par blocs, et c'est de cette idée que vivra tout le chapitre 2.

1.3 Sous-espaces stables et Endomorphismes induits

Toute la réduction des endomorphismes, qui occupe le chapitre suivant, repose sur une seule idée : casser un endomorphisme en morceaux plus simples. Un sous-espace stable est précisément un morceau que $u$ ne fait pas sortir de lui-même, et sur lequel on peut donc étudier $u$ à part, comme un endomorphisme d'un espace plus petit.

La traduction matricielle est immédiate et c'est elle qu'il faut avoir en tête : un sous-espace stable fait apparaître un bloc de zéros, deux sous-espaces stables supplémentaires en font apparaître deux. Chercher des sous-espaces stables, c'est chercher une base dans laquelle la matrice se simplifie ; à la limite, quand tous les morceaux sont des droites, la matrice est diagonale.

1.3.1 Sous-espaces vectoriels stables

Définition 1.5Sous-espace stable

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel et $u \in L (E)$ . Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est dit stable par $u$ si :

$u (F) \subset F, c’est- a ˋ -dire \forall x \in F, u (x) \in F .$

Dans ce cas, l'application $u_{F} : F \to F, x \mapsto u (x)$ est un endomorphisme de $F$ , appelé endomorphisme induit par $u$ sur $F$ .

Proposition 1.6Exemples fondamentaux de sous-espaces stables

Pour tout endomorphisme $u \in L (E)$ :

Les sous-espaces triviaux ${0}$ et $E$ sont stables par $u$ .
Le noyau $ker (u)$ et l'image $Im (u)$ sont stables par $u$ .
Plus généralement, pour tout polynôme $P \in K [X]$ , $ker (P (u))$ et $Im (P (u))$ sont stables par $u$ .
Si $u$ et $v$ commutent ( $u \circ v = v \circ u$ ), alors $ker (v)$ et $Im (v)$ sont stables par $u$ .

Le quatrième point est de loin le plus rentable, et il contient le troisième : puisque $u$ commute avec tout polynôme en $u$ , les noyaux et images de $P (u)$ sont stables par $u$ . C'est l'argument standard des exercices qui demandent de montrer qu'un sous-espace propre est stable par un endomorphisme commutant — et il servira au chapitre suivant, où les sous-espaces propres sont précisément des noyaux.

ImportantStable ne veut pas dire invariant

La définition demande $u (F) \subset F$ , et non $u (F) = F$ . L'inclusion peut être stricte : pour $u$ nilpotent non nul, $E$ tout entier est stable alors que $u (E) = Im (u)$ est un sous-espace propre de $E$ . L'égalité n'a lieu, en dimension finie, que si l'endomorphisme induit $u_{F}$ est injectif.

Exercices du chapitre

Le rang d'un projecteur se lit sur sa trace corrigé
Trois droites en somme directe, et le piège du « deux à deux » corrigé
Déterminant triangulaire par blocs, et la formule qui n'existe pas corrigé
L'opérateur aux différences, un drapeau de sous-espaces stables corrigé
Un endomorphisme de carré nul, lu par blocs corrigé
Des projecteurs de somme id découpent l'espace corrigé

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