Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants

Cours complet · mathématiques (PT), chapitre 1 · CPGE PT (2e année)

Travailler ce chapitre sur Adloun Exercices corrigés de ce chapitre

1.1 Introduction et vue d'ensemble

L'algèbre linéaire constitue le langage universel de l'ingénieur, du physicien et du mathématicien appliqué. En deuxième année de CPGE PT, l'objectif est d'approfondir la structure des espaces vectoriels de dimension finie en reliant la géométrie vectorielle intrinsèque — sommes directes, sous-espaces stables, projecteurs et symétries, hyperplans — à deux outils de calcul qui la rendent effective : la trace et le déterminant.

Dans les sciences de l'ingénieur, ces outils permettent de modéliser les systèmes dynamiques multivariables, d'étudier la commandabilité et l'observabilité des robots, et de résoudre efficacement les grands systèmes linéaires issus de la discrétisation par éléments finis.

Figure : Un projecteur décompose l'espace. Tout vecteur

x

s'écrit d'une seule

manière comme la somme de sa projection $p (x)$ , qui vit dans $F = ker (p - id)$ , et du reste $x - p (x)$ , qui vit dans $G = ker (p)$ : c'est exactement le contenu de l'égalité $E = Im (p) \oplus ker (p)$ . La direction de la projection est celle de $G$ , et changer $G$ en gardant $F$ donne un autre projecteur sur le même sous-espace.</div>

1.2 Produit d'espaces vectoriels et sommes de sous-espaces

Décomposer, c'est écrire un objet compliqué comme un assemblage d'objets simples, et tout ce chapitre en vit. Deux constructions permettent cet assemblage : le produit, qui fabrique un nouvel espace à partir de plusieurs, et la somme, qui reconstitue un espace à partir de sous-espaces qu'il contient déjà. La seconde n'est utile que lorsqu'elle est directe, c'est-à-dire lorsque la décomposition est unique.

Définition 1.1Produit d'espaces vectoriels

Soient $E_{1}, \dots, E_{p}$ des $K$ -espaces vectoriels. Leur produit $E_{1} \times \dots \times E_{p}$ est l'ensemble des $p$ -uplets $(x_{1}, \dots, x_{p})$ avec $x_{i} \in E_{i}$ , muni des opérations composante par composante. C'est un $K$ -espace vectoriel, et si chaque $E_{i}$ est de dimension finie,

$dim (E_{1} \times \dots \times E_{p}) = i = 1 \sum p dim E_{i} .$

Définition 1.2Somme et somme directe de sous-espaces

Soient $F_{1}, \dots, F_{p}$ des sous-espaces vectoriels d'un même espace $E$ . Leur somme est

$F_{1} + \dots + F_{p} = {x_{1} + \dots + x_{p} ∣ x_{i} \in F_{i}},$

c'est le plus petit sous-espace de $E$ contenant tous les $F_{i}$ . Cette somme est dite directe, et notée $F_{1} \oplus \dots \oplus F_{p}$ , lorsque tout vecteur de la somme se décompose d'une unique manière en $x_{1} + \dots + x_{p}$ avec $x_{i} \in F_{i}$ .

Proposition 1.3Caractérisation par le vecteur nul

La somme $F_{1} + \dots + F_{p}$ est directe si et seulement si la seule décomposition du vecteur nul est la décomposition triviale :

$x_{1} + \dots + x_{p} = 0 avec x_{i} \in F_{i} ⟹ x_{1} = \dots = x_{p} = 0.$

ImportantÀ trois sous-espaces ou plus, c'est la seule caractérisation

Pour deux sous-espaces, la somme est directe si et seulement si $F_{1} \cap F_{2} = {0}$ . Cette condition ne se généralise pas : trois droites distinctes d'un même plan se coupent deux à deux en ${0}$ sans que leur somme soit directe — elle vaut le plan tout entier, de dimension $2$ , alors que la somme des dimensions vaut $3$ . Au-delà de deux sous-espaces, la caractérisation par le vecteur nul est la seule au programme, et c'est celle qu'il faut employer.

Proposition 1.4Base adaptée et dimension

Si $E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{p}$ en dimension finie, la concaténation d'une base de chaque $F_{i}$ forme une base de $E$ , dite adaptée à la décomposition. En particulier

$dim E = i = 1 \sum p dim F_{i} .$

Réciproquement, si la somme des dimensions vaut $dim E$ et que la somme est directe, alors elle est égale à $E$ .

C'est dans une telle base que les matrices se simplifient : la section suivante montre qu'une décomposition en sous-espaces stables fait apparaître une matrice diagonale par blocs, et c'est de cette idée que vivra tout le chapitre 2.

1.3 Sous-espaces stables et Endomorphismes induits

Toute la réduction des endomorphismes, qui occupe le chapitre suivant, repose sur une seule idée : casser un endomorphisme en morceaux plus simples. Un sous-espace stable est précisément un morceau que $u$ ne fait pas sortir de lui-même, et sur lequel on peut donc étudier $u$ à part, comme un endomorphisme d'un espace plus petit.

La traduction matricielle est immédiate et c'est elle qu'il faut avoir en tête : un sous-espace stable fait apparaître un bloc de zéros, deux sous-espaces stables supplémentaires en font apparaître deux. Chercher des sous-espaces stables, c'est chercher une base dans laquelle la matrice se simplifie ; à la limite, quand tous les morceaux sont des droites, la matrice est diagonale.

1.3.1 Sous-espaces vectoriels stables

Définition 1.5Sous-espace stable

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel et $u \in L (E)$ . Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est dit stable par $u$ si :

$u (F) \subset F, c’est- a ˋ -dire \forall x \in F, u (x) \in F .$

Dans ce cas, l'application $u_{F} : F \to F, x \mapsto u (x)$ est un endomorphisme de $F$ , appelé endomorphisme induit par $u$ sur $F$ .

Proposition 1.6Exemples fondamentaux de sous-espaces stables

Pour tout endomorphisme $u \in L (E)$ :

Les sous-espaces triviaux ${0}$ et $E$ sont stables par $u$ .
Le noyau $ker (u)$ et l'image $Im (u)$ sont stables par $u$ .
Plus généralement, pour tout polynôme $P \in K [X]$ , $ker (P (u))$ et $Im (P (u))$ sont stables par $u$ .
Si $u$ et $v$ commutent ( $u \circ v = v \circ u$ ), alors $ker (v)$ et $Im (v)$ sont stables par $u$ .

Le quatrième point est de loin le plus rentable, et il contient le troisième : puisque $u$ commute avec tout polynôme en $u$ , les noyaux et images de $P (u)$ sont stables par $u$ . C'est l'argument standard des exercices qui demandent de montrer qu'un sous-espace propre est stable par un endomorphisme commutant — et il servira au chapitre suivant, où les sous-espaces propres sont précisément des noyaux.

ImportantStable ne veut pas dire invariant

La définition demande $u (F) \subset F$ , et non $u (F) = F$ . L'inclusion peut être stricte : pour $u$ nilpotent non nul, $E$ tout entier est stable alors que $u (E) = Im (u)$ est un sous-espace propre de $E$ . L'égalité n'a lieu, en dimension finie, que si l'endomorphisme induit $u_{F}$ est injectif.

1.3.2 Traduction matricielle et calcul par blocs

Proposition 1.7Forme triangulaire et diagonale par blocs

Soit $E$ un espace de dimension finie $n$ .

Soit $F$ un sous-espace de dimension $p$ stable par $u$ . En complétant une base $B_{F} = (e_{1}, \dots, e_{p})$ de $F$ en une base $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ , la matrice de $u$ dans $B$ est triangulaire supérieure par blocs :

$Mat_{B} (u) = (A 0 B C), o u ˋ A = Mat_{B_{F}} (u_{F}) \in M_{p} (K), C \in M_{n - p} (K) .$

Si de plus $E = F \oplus G$ où $F$ et $G$ sont tous deux stables par $u$ , alors en concaténant une base de $F$ et une base de $G$ , la matrice devient diagonale par blocs :

$Mat_{B} (u) = (A 0 0 D) .$

Figure : La stabilité se lit sur la matrice. Si

F = Vect (e_{1}, \dots, e_{p})

est stable par $u$ , les images $u (e_{1}), \dots, u (e_{p})$ n'ont pas de composante hors de $F$ : les $p$ premières colonnes ont leurs $n - p$ dernières lignes nulles, et le bloc inférieur gauche s'annule. Les deux blocs diagonaux sont carrés : $A \in M_{p} (K)$ est la matrice de l'endomorphisme induit $u_{F}$ , et $C \in M_{n - p} (K)$ ; le bloc rectangulaire $B \in M_{p, n - p} (K)$ mesure ce que $u$ renvoie de $G$ vers $F$ . Si $G$ est à son tour stable et supplémentaire de $F$ , le bloc $B$ s'annule aussi.</div>

1.4 Projecteurs et Symétries vectorielles

Projecteurs et symétries sont les endomorphismes qu'une seule équation suffit à caractériser : $p^{2} = p$ dans un cas, $s^{2} = id$ dans l'autre. Chacune de ces deux égalités impose à elle seule une décomposition de l'espace en somme directe, et c'est ce que disent les deux théorèmes qui suivent. Ils fourniront au chapitre suivant les premiers exemples d'endomorphismes diagonalisables.

1.4.1 Projecteurs vectoriels

Définition 1.8Projecteur vectoriel

Un endomorphisme $p \in L (E)$ est appelé un projecteur (ou projection vectorielle) si :

$p \circ p = p (p^{2} = p) .$

◆Théorème 1.9Caractérisation fondamentale des projecteurs

Si $p \in L (E)$ est un projecteur, alors :

$E = Im (p) \oplus ker (p)$ .
$Im (p) = ker (p - id_{E}) = {x \in E ∣ p (x) = x}$ .
$p$ est la projection sur $Im (p)$ parallèlement à $ker (p)$ .
$q = id_{E} - p$ est le projecteur associé sur $ker (p)$ parallèlement à $Im (p)$ .
En dimension finie, $rg (p) = tr (p)$ .

Le dernier point est un test de reconnaissance immédiat : la trace d'un projecteur est un entier, égal à son rang. Une matrice de trace non entière, ou de trace supérieure à sa taille, n'est donc pas celle d'un projecteur, et il est inutile de calculer $M^{2}$ pour le vérifier.

Démonstration

$∙$ Soit $x \in Im (p) \cap ker (p)$ . Alors $x = p (y)$ pour un certain $y \in E$ , et $p (x) = 0$ . Donc $0 = p (x) = p (p (y)) = p (y) = x$ . Les sous-espaces sont donc en somme directe.
$∙$ Pour tout $x \in E$ , écrivons $x = p (x) + (x - p (x))$ . On a bien $p (x) \in Im (p)$ et $p (x - p (x)) = p (x) - p^{2} (x) = p (x) - p (x) = 0$ , donc $x - p (x) \in ker (p)$ . D'où $E = Im (p) \oplus ker (p)$ .
$∙$ Dans une base adaptée à la somme directe, la matrice de $p$ est $diag (1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$ avec $r = dim Im (p)$ fois le chiffre 1. Sa trace est donc égale à $r = rg (p)$ .

1.4.2 Symétries vectorielles

Définition 1.10Symétrie vectorielle

Un endomorphisme $s \in L (E)$ est une symétrie vectorielle si :

$s \circ s = id_{E} (s^{2} = id_{E}) .$

La relation canonique entre projecteur et symétrie est :

$s = 2 p - id_{E} ⟺ p = \frac{s + id _{E}}{2} .$

On a alors la décomposition en somme directe :

$E = ker (s - id_{E}) \oplus ker (s + id_{E}) .$

$s$ est la symétrie par rapport à $F = ker (s - id_{E})$ parallèlement à $G = ker (s + id_{E})$ .

La relation $s = 2 p - id$ dit que la symétrie « va deux fois plus loin » que la projection, et elle se lit sur la figure ci-dessous : la projection est le milieu du segment qui joint un vecteur à son image. Elle fournit aussi la traduction pratique — tout énoncé sur les symétries se ramène à un énoncé sur les projecteurs, et réciproquement, sans qu'il soit jamais nécessaire de traiter les deux cas séparément.

ImportantLa caractéristique

2

est ici sans danger, mais l'ordre compte

La formule $p = \frac{s + id}{2}$ suppose de pouvoir diviser par $2$ , ce qui est acquis sur $R$ et sur $C$ , les seuls corps du programme. En revanche l'ordre des sous-espaces n'est jamais interchangeable : $F$ est le sous-espace des vecteurs invariants ( $s (x) = x$ ), $G$ celui des vecteurs retournés ( $s (x) = - x$ ). Échanger les deux donne la symétrie $- s$ , qui est une autre application.

Figure : La symétrie par rapport à

F

parallèlement à

G

. Le segment

$[x, s (x)]$ est parallèle à $G$ , et son milieu est la projection $p (x)$ , qui appartient à $F$ : c'est la lecture géométrique de $s = 2 p - id$ . Les valeurs sont calculées, non estimées : $x$ est pris de norme $2$ à $6 0^{\circ}$ de $F$ , d'où $∥ p (x) ∥ = 2 cos 6 0^{\circ} = 1$ , soit exactement la moitié de $x$ — et $s (x)$ a la même norme que $x$ , ce qu'une symétrie doit faire.</div>

1.5 Trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme

La trace est la plus simple des quantités qu'on puisse extraire d'une matrice — une somme de $n$ coefficients — et pourtant elle ne dépend pas de la base. C'est cette invariance qui en fait un outil, et elle repose tout entière sur une seule identité, $tr (A B) = tr (B A)$ .

Définition 1.11Trace d'une matrice carrée

Pour $A = (a_{i, j}) \in M_{n} (K)$ , la trace de $A$ est la somme de ses coefficients diagonaux :

$tr (A) = i = 1 \sum n a_{i, i} .$

Proposition 1.12Propriétés de la trace

Pour toutes matrices $A, B \in M_{n} (K)$ et tout $λ \in K$ :

Linéarité : $tr (λ A + B) = λ tr (A) + tr (B)$ .
$tr (A^{⊤}) = tr (A)$ .
Commutation sous la trace : $tr (A B) = tr (B A)$ .
Deux matrices semblables ont la même trace.

Démonstration

Le point 3 est un simple échange de sommations :

$tr (A B) = i = 1 \sum n k = 1 \sum n a_{i, k} b_{k, i} = k = 1 \sum n i = 1 \sum n b_{k, i} a_{i, k} = tr (B A) .$

Le point 4 s'en déduit : si $B = P^{- 1} A P$ , alors en posant $M = P^{- 1}$ et $N = A P$ ,

$tr (B) = tr (M N) = tr (N M) = tr (A P P^{- 1}) = tr (A) .$

ImportantLa trace commute, le produit non

$tr (A B) = tr (B A)$ ne signifie pas $A B = B A$ , et l'identité ne s'étend pas telle quelle à trois facteurs : on a bien $tr (A B C) = tr (B C A) = tr (C A B)$ — permutation circulaire —, mais $tr (A B C)$ et $tr (B A C)$ diffèrent en général.

Enfin $tr (A B) \neq = tr (A) tr (B)$ : la trace est linéaire, pas multiplicative. C'est le déterminant qui est multiplicatif.

L'invariance par similitude permet de définir la trace d'un endomorphisme :

Définition 1.13Trace d'un endomorphisme

Soit $E$ de dimension finie et $u \in L (E)$ . Toutes les matrices de $u$ dans les différentes bases de $E$ étant semblables entre elles, elles ont la même trace : ce scalaire est la trace de $u$ , notée $tr (u)$ .

Le rang d'un projecteur en est l'application immédiate — dans une base adaptée à $E = Im (p) \oplus ker (p)$ , la matrice de $p$ est $diag (1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$ , dont la trace vaut le nombre de $1$ , c'est-à-dire $rg (p)$ .

1.6 Hyperplans en dimension finie

Un hyperplan est un sous-espace « aussi grand que possible sans être l'espace entier » : une droite du plan, un plan de l'espace. La définition retenue ici est intrinsèque et n'invoque aucune coordonnée.

Définition 1.14Hyperplan

Un sous-espace vectoriel $H$ d'un espace $E$ de dimension finie est un hyperplan s'il admet une droite vectorielle comme supplémentaire : il existe $a \in E ∖ {0}$ tel que $E = H \oplus K a$ . De manière équivalente, en dimension finie $n$ , $H$ est un hyperplan si et seulement si $dim H = n - 1$ .

Proposition 1.15Équations d'un hyperplan

Soit $E$ de dimension $n$ muni d'une base $B$ . Une partie $H$ de $E$ est un hyperplan si et seulement s'il existe $(α_{1}, \dots, α_{n}) \neq = (0, \dots, 0)$ tel que

$H = {x \in E ∣ α_{1} x_{1} + \dots + α_{n} x_{n} = 0},$

où les $x_{i}$ sont les coordonnées de $x$ dans $B$ . Une telle équation est unique à un facteur multiplicatif non nul près.

◆Théorème 1.16Intersection d'hyperplans et systèmes linéaires

Soit $E$ de dimension $n$ .

L'intersection de $p$ hyperplans de $E$ est de dimension au moins $n - p$ .
Réciproquement, tout sous-espace de $E$ de dimension $n - p$ est l'intersection de $p$ hyperplans.

C'est la lecture géométrique d'un système linéaire homogène : chaque équation définit un hyperplan, l'ensemble des solutions est leur intersection, et le théorème du rang dit que sa dimension vaut $n$ moins le rang du système — d'où l'inégalité, qui devient une égalité exactement quand les $p$ équations sont indépendantes. Décrire un sous-espace par un système d'équations plutôt que par une famille génératrice, c'est passer d'une description « par l'intérieur » à une description « par l'extérieur », et les exercices demandent constamment de savoir passer de l'une à l'autre.

1.7 Déterminants

Le déterminant est d'abord une mesure : en dimension $2$ , l'aire orientée du parallélogramme construit sur les colonnes ; en dimension $3$ , le volume orienté du parallélépipède. Toutes ses propriétés algébriques se lisent sur cette interprétation, et il vaut mieux la garder en tête que retenir les règles séparément — la nullité du déterminant d'une famille liée, c'est un volume aplati ; la multiplicativité $det (A B) = det (A) det (B)$ , c'est la composition de deux dilatations.

1.7.1 Déterminant d'un endomorphisme et d'une matrice

◆Théorème 1.17Existence et unicité du déterminant

Il existe une unique application $det : M_{n} (K) \to K$ vérifiant les trois propriétés suivantes :

$det$ est linéaire par rapport à chacune des colonnes de sa variable ;
$det$ est antisymétrique par rapport aux colonnes : échanger deux colonnes change le signe du déterminant ;
$det (I_{n}) = 1$ .

Ces trois propriétés suffisent à tout démontrer, et il vaut mieux les retenir qu'une formule développée : la première donne l'effet d'une multiplication de colonne par un scalaire, la deuxième l'annulation en cas de colonnes égales, la troisième l'échelle.

Définition 1.18Déterminant d'une famille de vecteurs, d'un endomorphisme

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension $n$ muni d'une base $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ . Le déterminant dans $B$ d'une famille $(v_{1}, \dots, v_{n})$ de vecteurs de $E$ est le déterminant de la matrice de ses coordonnées :

$det_{B} (v_{1}, \dots, v_{n}) = det Mat_{B} (v_{1}, \dots, v_{n}) .$

La famille $(v_{1}, \dots, v_{n})$ est une base de $E$ si et seulement si ce déterminant est non nul.

Pour $u \in L (E)$ , le scalaire $det (u) = det_{B} (u (e_{1}), \dots, u (e_{n}))$ ne dépend pas de la base $B$ choisie : c'est le déterminant de l'endomorphisme $u$ . Il est non nul si et seulement si $u$ est un automorphisme.

ImportantEn dimension

2

3

, c'est le produit mixte

Dans un espace euclidien orienté de dimension $3$ rapporté à une base orthonormée directe, $det_{B} (u, v, w)$ est le produit mixte $[u, v, w]$ rencontré en première année, c'est-à-dire le volume orienté du parallélépipède construit sur les trois vecteurs. En dimension $2$ , c'est l'aire orientée du parallélogramme. Toutes les propriétés algébriques du déterminant se lisent sur cette interprétation, et la figure ci-dessous en illustre la plus utile.

Proposition 1.19Propriétés fondamentales du déterminant

$det (u \circ v) = det (u) \cdot det (v)$ et $det (A B) = det (A) \cdot det (B)$ .
$u \in G L (E) ⟺ det (u) \neq = 0$ , et dans ce cas $det (u^{- 1}) = \frac{1}{d e t ( u )}$ .
$det (A^{⊤}) = det (A)$ .
$det (λ A) = λ^{n} det (A)$ pour tout $λ \in K$ et $A \in M_{n} (K)$ .
Une matrice ayant deux colonnes égales a un déterminant nul.
Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.

Les mêmes propriétés valent pour les lignes, puisque $det (A^{⊤}) = det (A)$ .

Proposition 1.20Effet des opérations élémentaires sur les colonnes

Soit $A \in M_{n} (K)$ de colonnes $C_{1}, \dots, C_{n}$ .

$C_{i} \leftrightarrow C_{j}$ (échange) : le déterminant change de signe.
$C_{i} \leftarrow λ C_{i}$ : le déterminant est multiplié par $λ$ .
$C_{i} \leftarrow C_{i} + λ C_{j}$ pour $j \neq = i$ : le déterminant est inchangé.

Seule la troisième est gratuite, et c'est elle qui sert : on ajoute pour faire apparaître des zéros, jamais on ne divise. Les deux autres se paient — d'un signe ou d'un facteur — et l'oubli de ce prix est l'erreur de calcul la plus fréquente.

◆Théorème 1.21Développement par rapport à une ligne ou une colonne

Soit $A = (a_{i, j}) \in M_{n} (K)$ avec $n \geq 2$ , et soit $A_{i, j}$ la matrice de $M_{n - 1} (K)$ obtenue en supprimant la $i$ -ième ligne et la $j$ -ième colonne de $A$ . Pour tout indice $i$ fixé (développement selon la $i$ -ième ligne) et tout indice $j$ fixé (développement selon la $j$ -ième colonne) :

$det (A) = k = 1 \sum n (- 1)^{i + k} a_{i, k} det (A_{i, k}) = k = 1 \sum n (- 1)^{k + j} a_{k, j} det (A_{k, j}) .$

Le signe $(- 1)^{i + j}$ se retient sur un damier commençant par $+$ en haut à gauche. En pratique, on ne développe jamais en aveugle : on fait d'abord apparaître des zéros par opérations élémentaires, puis on développe selon la ligne ou la colonne qui en contient le plus — un seul terme survit dans le meilleur des cas.

Figure : Le déterminant est une aire, et l'opération

C_{2} \leftarrow C_{2} + λ C_{1}

ne la change pas. Les deux parallélogrammes reposent sur la même base $C_{1}$ et leurs sommets opposés glissent le long d'une même parallèle à cette base : ils ont donc la même hauteur, donc la même aire. Le calcul le confirme — $det (C_{1}, C_{2}) = 3 \times 2, 2 - 0, 6 \times 1 = 6$ et $det (C_{1}, C_{2} + 0, 8 C_{1}) = 3 \times 2, 68 - 0, 6 \times 3, 4 = 6$ . C'est cette invariance qui autorise à créer des zéros sans rien corriger, alors que multiplier une colonne par $λ$ multiplie le déterminant par $λ$ .</div>

Cette dernière propriété est le moteur de tout calcul de déterminant, et elle est la seule qui soit gratuite : ajouter à une colonne une combinaison des autres ne change rien, alors que multiplier une colonne par $λ$ multiplie le déterminant par $λ$ , et échanger deux colonnes le change de signe. C'est pourquoi l'on ajoute pour faire apparaître des zéros, quitte à ne jamais diviser.

Méthode : Calculer un déterminant

Chercher une structure avant de calculer : une ligne ou une colonne presque nulle, une matrice triangulaire ou triangulaire par blocs, une famille manifestement liée.
Créer des zéros par des opérations $C_{j} \leftarrow C_{j} + λ C_{i}$ ou $L_{j} \leftarrow L_{j} + λ L_{i}$ , qui ne changent pas la valeur. Une somme de toutes les colonnes fait souvent apparaître une colonne constante.
Développer selon la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros, ou appliquer la formule des blocs triangulaires.
Contrôler sur un cas particulier : une valeur des paramètres qui rend deux lignes égales doit annuler le résultat.

1.7.2 Déterminant par blocs

◆Théorème 1.22Déterminant triangulaire par blocs

Soient $A \in M_{p} (K), B \in M_{p, q} (K), C \in M_{q} (K)$ . Alors :

$det (A 0 B C) = det (A) \cdot det (C) .$

Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices