La fonction Gamma d'Euler

Définition : en $0$, $t^{x-1}{e}^{-t}\sim t^{x-1}$, intégrable si et seulement si $1-x<1$, soit $x>0$ ; en $+\infty$, $t^{x-1}{e}^{-t}=o(1/t^2)$ : intégrable. Donc $\Gamma (x)$ existe exactement pour $x>0$. Équation fonctionnelle : par parties sur $]0,+\infty [$, crochet $[-t^x{e}^{-t}{]}_0^{+\infty }=0$ pour $x>0$ (les deux limites existent et sont nulles) : $$\Gamma (x+1)={\int }_0^{+\infty }{t}^x{e}^{-t}\mathrm{d}t=x{\int }_0^{+\infty }{t}^{x-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t=x\Gamma (x).$$ Avec $\Gamma (1)=1$ : $\Gamma (n+1)=n!$ par récurrence : on retrouve ainsi ${\int }_0^{+\infty }{t}^n{e}^{-t}\mathrm{d}t=n!$. Continuité — le réflexe « sur tout segment » : sur $A=[a,b]\subset ]0,+\infty [$, on domine indépendamment de $x$ : $$t^{x-1}{e}^{-t}\le \phi (t)=\{\begin{array}{ll}{t}^{a-1}& \text{si }0<t\le 1\\ t^{b-1}{e}^{-t}& \text{si }t\ge 1\end{array}$$ ($t^{x-1}$ est croissant en $x$ pour $t\ge 1$, décroissant pour $t\le 1$), et $\phi$ est intégrable. Le théorème de continuité s'applique sur tout segment, donc $\Gamma$ est continue sur $]0,+\infty [$. (Même mécanique pour ${\mathcal{C}}^{\infty }$, avec des facteurs $(\ln t{)}^k$, et l'on obtient que $\Gamma$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$. $\Gamma$ interpole la factorielle sur les réels — première intégrale eulérienne.)