Montrer que t ↦ (sin t)/t² est intégrable sur [1, +∞[ et que t ↦…

Première fonction. $t\mapsto \frac{\sin t}{t^2}$ est continue sur $[1,+\infty [$ et, pour tout $t\ge 1$, $$\left|\frac{\sin t}{t^2}\right|\le \frac{1}{t^2},$$ fonction intégrable sur $[1,+\infty [$ (Riemann, $2>1$). Par domination, $t\mapsto \frac{\sin t}{t^2}$ est intégrable sur $[1,+\infty [$.

Seconde fonction. $g:t\mapsto \frac{1}{1+t^2}$ est continue et positive sur $\mathbb{R}$ et paire : il suffit d'étudier $[0,+\infty [$. Elle est continue sur le segment $[0,1]$, et sur $[1,+\infty [$ on a $0\le g(t)\le \frac{1}{t^2}$, intégrable. Donc $g$ est intégrable sur $[0,+\infty [$, puis sur $\mathbb{R}$ par parité. On peut même calculer : $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }[\arctan t{]}_{-x}^x=\frac{\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\pi .$$