Nature de ∫₀^+∞ dt/(t² + √t) (deux bornes : en 0, ∼ 1/√t, Riemann 1/2…

La fonction $f:t\mapsto \frac{1}{t^2+\sqrt{t}}$ est continue et positive sur $]0,+\infty [$ : l'intégrale est impropre aux deux bornes, on étudie chacune séparément.

• En $0$ : $t^2=o(\sqrt{t})$, donc $f(t)\sim \frac{1}{\sqrt{t}}=\frac{1}{t^{1/2}}$, intégrable sur $]0,1]$ (Riemann, $\frac{1}{2}<1$). Par comparaison de fonctions positives, $f$ est intégrable sur $]0,1]$.
• En $+\infty$ : $\sqrt{t}=o(t^2)$, donc $f(t)\sim \frac{1}{t^2}$, intégrable sur $[1,+\infty [$ (Riemann, $2>1$). Donc $f$ est intégrable sur $[1,+\infty [$.

Conclusion : ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^2+\sqrt{t}}$ converge.