Pour a > 0 et b ∈ ℝ, calculer ∫₀^+∞ e⁻ᵃᵗcos (bt) dt (passer en…

Intégrabilité. Pour $t\ge 0$, $\left|e^{-at}\cos (bt)\right|\le e^{-at}$, intégrable sur $[0,+\infty [$ puisque $a>0$ : l'intégrale converge absolument.

Passage en complexes. Comme $\cos (bt)=\mathrm{Re}\left(e^{ibt}\right)$, on a $e^{-at}\cos (bt)=\mathrm{Re}\left(e^{-(a-ib)t}\right)$. Pour $x>0$ : $${\int }_0^x{e}^{-(a-ib)t}\mathrm{d}t=\frac{1-e^{-(a-ib)x}}{a-ib},\left|e^{-(a-ib)x}\right|=e^{-ax}\underset{x\to +\infty }{\to }0,$$ donc ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-(a-ib)t}\mathrm{d}t=\frac{1}{a-ib}=\frac{a+ib}{a^2+b^2}$.

Conclusion. En prenant la partie réelle (linéarité de l'intégrale) : $${\int }_0^{+\infty }{e}^{-at}\cos (bt)\mathrm{d}t=\frac{a}{a^2+b^2}.$$ La partie imaginaire donne au passage ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-at}\sin (bt)\mathrm{d}t=\frac{b}{a^2+b^2}$ : ce sont les transformées de Laplace de $\cos$ et $\sin$.