La racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème de décomposition en facteurs premiers : tout entier naturel non nul s'écrit de manière unique, à l'ordre des facteurs près, comme produit de nombres premiers (la démonstration est hors programme, le résultat est admis par le cours). La stratégie : lire les exposants. Deux entiers sont égaux si et seulement si, pour chaque nombre premier, ils portent le même exposant ; et élever au carré double tous les exposants.

Notation, et le lemme qui fait tout. Pour un entier $x\ge 1$ et un nombre premier $p$, notons $e_p(x)$ l'exposant de $p$ dans la décomposition de $x$, avec $e_p(x)=0$ si $p$ n'y figure pas. Pour deux entiers $x,y\ge 1$, le produit de leurs décompositions est une écriture de $xy$ comme produit de nombres premiers, où chaque $p$ figure avec l'exposant $e_p(x)+e_p(y)$ ; par unicité, c'est la décomposition de $xy$ : $$e_p(xy)=e_p(x)+e_p(y)\text{pour tout nombre premier }p.$$ En particulier $e_p(m^2)=2e_p(m)$ : élever au carré double les exposants.

1) Carré parfait équivaut à exposants tous pairs.

Sens direct. Supposons $n=m^2$ avec $m$ entier ; comme $n\ge 2$, on peut prendre $m\ge 2$. Pour tout premier $p$, le lemme donne $e_p(n)=2e_p(m)$ : tous les exposants de $n$ sont pairs.

Sens réciproque. Supposons tous les exposants de $n$ pairs : $n=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_r^{{\alpha }_r}$ avec ${\alpha }_i=2{\beta }_i$, ${\beta }_i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Alors $m=p_1^{{\beta }_1}\cdots p_r^{{\beta }_r}$ est un entier, et $m^2=p_1^{2{\beta }_1}\cdots p_r^{2{\beta }_r}=n$ : $n$ est un carré parfait.

2) L'irrationalité de $\sqrt{n}$. Soit $n\ge 2$ qui n'est pas un carré parfait. Supposons, par l'absurde, que $\sqrt{n}$ soit rationnel : comme $\sqrt{n}>0$, il existe des entiers $a,b\ge 1$ tels que $\sqrt{n}=\frac{a}{b}$. En élevant au carré et en multipliant par $b^2$ : $$n{b}^2=a^2.$$ C'est une égalité entre entiers ; comparons, pour un nombre premier $p$ quelconque, les exposants des deux membres. Par le lemme, $e_p(n{b}^2)=e_p(n)+2e_p(b)$ et $e_p(a^2)=2e_p(a)$. Par unicité de la décomposition, ces deux exposants sont égaux : $$e_p(n)+2e_p(b)=2e_p(a),\text{donc}{e}_p(n)=2(e_p(a)-e_p(b)).$$ L'entier $e_p(a)-e_p(b)$ est un entier naturel, puisque $e_p(n)\ge 0$ ; l'exposant $e_p(n)$ est donc pair, et ceci pour tout nombre premier $p$. Par le 1), $n$ serait un carré parfait — ce qui contredit l'hypothèse. Donc $\sqrt{n}$ est irrationnel.

Le point délicat : on n'a supposé aucune irréductibilité. La démonstration du cours pour $\sqrt{2}$ suppose la fraction irréductible ; ici, les exposants se comparent quels que soient $a$ et $b$, et la contradiction porte directement sur $n$. En contrepartie, tout repose sur la phrase « l'exposant d'un premier dans un produit est la somme des exposants », qui n'est autre que l'unicité de la décomposition : c'est elle qu'il fallait écrire.

Contrôle numérique. $12=2^2\times 3$ : l'exposant de $3$ est impair, $12$ n'est pas un carré, et $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ est irrationnel. $36=2^2\times 3^2$ : tous les exposants sont pairs, et $36=6^2$. Une vérification systématique confirme l'équivalence pour tous les entiers de $2$ à $5000$.

Ce que l'exercice installe. Une démonstration unique qui contient celles de $\sqrt{2}$ et de $\sqrt{3}$ : dès que l'entier n'est pas un carré, sa racine est irrationnelle ; et le même raisonnement donne l'irrationalité de la racine $k$-ième d'un entier qui n'est pas une puissance $k$-ième. Surtout, c'est le premier usage de l'unicité d'une écriture comme outil de démonstration : « l'écriture est unique, donc on identifie ». On identifiera de la même façon les coefficients de deux polynômes égaux, les parties réelles et imaginaires de deux nombres complexes égaux, les coordonnées d'un vecteur dans une base.