Négation d'assertions quantifiées

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PTSI), chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · B. Quantificateurs et négations

Énoncé

Donner la négation des assertions suivantes :

$P_{1} : \forall x \in R, x^{2} \geq 0$
$P_{2} : \exists x \in R, cos (x) = x$
$P_{3} : \forall ϵ > 0, \exists δ > 0, \forall x \in R, ∣ x ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) ∣ < ϵ$

Corrigé

Par application systématique des règles de négation des quantificateurs et connecteurs (sachant que $\neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow A \land \neg B$ ) :

$\neg P_{1} : \exists x \in R, x^{2} < 0$
$\neg P_{2} : \forall x \in R, cos (x) \neq = x$
$\neg P_{3} : \exists ϵ > 0, \forall δ > 0, \exists x \in R, ∣ x ∣ < δ \land ∣ f (x) ∣ \geq ϵ$

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