Quatre équations dans l'ensemble des parties

La méthode, commune aux quatre équations. Une condition nécessaire sur $A$ et $B$, sans laquelle il n'y a aucune solution ; puis l'ensemble de toutes les solutions, avec vérification : une analyse-synthèse dans l'ensemble des parties. On note $E\setminus A$ le complémentaire de $A$ dans $E$.

a) $X\cup A=B$.

Condition d'existence. Si $X$ est solution, alors $A\subset X\cup A=B$. Donc si $A\not\subset B$, il n'y a pas de solution. Supposons désormais $A\subset B$.

Analyse. Soit $X$ une solution. D'une part $X\subset X\cup A=B$. D'autre part, soit $y\in B\setminus A$ : comme $y\in B=X\cup A$ et $y\notin A$, on a $y\in X$. Donc $$B\setminus A\subset X\subset B.$$

Synthèse. Réciproquement, soit $X$ tel que $B\setminus A\subset X\subset B$. Alors $X\cup A\subset B\cup A=B$, puisque $A\subset B$ ; et comme $B=(B\setminus A)\cup (B\cap A)\subset X\cup A$, on a l'égalité. $${\mathcal{S}}_a=\{\begin{array}{ll}\{X\in \mathcal{P}(E)\mid B\setminus A\subset X\subset B\}& \text{si }A\subset B,\\ \varnothing & \text{sinon.}\end{array}$$ La plus petite solution est $B\setminus A$, la plus grande est $B$. Contrôle : dans $E=\{1,2,3,4\}$, avec $A=\{1\}$ et $B=\{1,2,3\}$, les solutions sont $\{2,3\}$ et $\{1,2,3\}$, et elles seules.

b) $X\cap A=B$.

Condition d'existence. Si $X$ est solution, $B=X\cap A\subset A$. Donc si $B\not\subset A$, pas de solution. Supposons $B\subset A$.

Analyse. Soit $X$ une solution. Alors $B=X\cap A\subset X$. Et si $x\in X$ : ou bien $x\in A$, et alors $x\in X\cap A=B$ ; ou bien $x\notin A$, c'est-à-dire $x\in E\setminus A$. Donc $$B\subset X\subset B\cup (E\setminus A).$$

Synthèse. Si $B\subset X\subset B\cup (E\setminus A)$, alors, par distributivité, $X\cap A\subset (B\cap A)\cup ((E\setminus A)\cap A)=B\cap A=B$, car $B\subset A$ ; et $B=B\cap A\subset X\cap A$. Égalité. $${\mathcal{S}}_b=\{\begin{array}{ll}\{X\in \mathcal{P}(E)\mid B\subset X\subset B\cup (E\setminus A)\}& \text{si }B\subset A,\\ \varnothing & \text{sinon.}\end{array}$$

c) $X\setminus A=B$. Il n'y a rien de neuf à faire : $X\setminus A=X\cap (E\setminus A)$, et l'équation s'écrit $X\cap (E\setminus A)=B$. C'est exactement l'équation b), où $A$ est remplacé par $E\setminus A$. La condition devient $B\subset E\setminus A$, c'est-à-dire $A\cap B=\varnothing$, et les solutions sont les $X$ tels que $B\subset X\subset B\cup (E\setminus (E\setminus A))=B\cup A$ : $${\mathcal{S}}_c=\{\begin{array}{ll}\{X\in \mathcal{P}(E)\mid B\subset X\subset A\cup B\}& \text{si }A\cap B=\varnothing ,\\ \varnothing & \text{sinon.}\end{array}$$

d) $X\Delta A=B$. Ici le comportement change du tout au tout : il y a toujours une solution, et elle est unique. Trois étapes préparent la résolution.

Première étape : ce que dit la différence symétrique. Un élément $x$ est dans $A\setminus B$ s'il est dans $A$ sans être dans $B$, dans $B\setminus A$ s'il est dans $B$ sans être dans $A$ : il est donc dans $A\Delta B$ si et seulement s'il est dans exactement une des deux parties. Avec les indicatrices : pour $x\in E$, posons $u=1_A(x)$ et $v=1_B(x)$, qui valent $0$ ou $1$. Le nombre $u+v-2uv$ vaut $0$ si $u=v=0$, $1$ si un seul des deux vaut $1$, et $1+1-2=0$ si $u=v=1$ : il vaut $1$ exactement quand $x$ est dans une seule des deux parties. Une partie étant déterminée par son indicatrice, on a $$1_{A\Delta B}=1_A+1_B-21_A{1}_B.$$ Le facteur $2$ n'est pas un doublon : les éléments de $A\cap B$, comptés une fois par $1_A$ et une fois par $1_B$, doivent être retirés deux fois ; avec un seul retrait, on obtiendrait la réunion.

Deuxième étape : l'associativité. Soit $C$ une troisième partie, et notons $a=1_A$, $b=1_B$, $c=1_C$. En appliquant deux fois la formule : $$1_{(A\Delta B)\Delta C}=(a+b-2ab)+c-2(a+b-2ab)c=a+b+c-2ab-2ac-2bc+4abc,$$ $$1_{A\Delta (B\Delta C)}=a+(b+c-2bc)-2a(b+c-2bc)=a+b+c-2ab-2ac-2bc+4abc.$$ Les deux indicatrices sont égales, donc $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$. L'expression, symétrique en $a,b,c$, vaut $1$ exactement quand $x$ est dans une seule ou dans les trois parties : dans un nombre impair d'entre elles.

Troisième étape : l'élément neutre et le symétrique. Avec $b=0$, la formule donne $1_{A\Delta \varnothing }=1_A$ : $A\Delta \varnothing =A$. Et comme $1_A$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$, on a $1_A^2=1_A$, d'où $1_{A\Delta A}=21_A-21_A^2=0$ : chaque partie est sa propre « opposée », $A\Delta A=\varnothing$.

La résolution. Si $X$ est solution, on « compose » l'équation par $A$ et l'on utilise les trois étapes : $$\begin{array}{rl}X\Delta A=B& ⟹(X\Delta A)\Delta A=B\Delta A\\ & ⟹X\Delta (A\Delta A)=B\Delta A\\ & ⟹X=B\Delta A.\end{array}$$ Réciproquement, $(B\Delta A)\Delta A=B\Delta (A\Delta A)=B\Delta \varnothing =B$. D'où $${\mathcal{S}}_d=\{A\Delta B\}.$$ Contrôle : avec $E=\{1,2,3,4\}$, $A=\{1,2\}$ et $B=\{2,3\}$, la solution est $A\Delta B=\{1,3\}$, et en effet $\{1,3\}\Delta \{1,2\}=\{2,3\}$.

Ce que la comparaison révèle. Les trois premières équations ont pour solutions un « intervalle » de $\mathcal{P}(E)$, parfois vide : la réunion et l'intersection perdent de l'information et ne se défont pas. La quatrième a une solution unique parce que la différence symétrique se comporte comme une addition où chaque partie est sa propre opposée.

Ce que l'exercice installe. La forme de toute résolution — condition d'existence, ensemble complet des solutions, vérification —, et l'usage des indicatrices, qui changent une identité entre parties en un calcul sur des $0$ et des $1$. En probabilités, l'indicatrice d'un événement est une variable de Bernoulli, d'espérance $P(A)$ : l'espérance de la formule établie ici donnera la probabilité que exactement un des deux événements se réalise, $P(A)+P(B)-2P(A\cap B)$.