Raisonnement par analyse-synthèse

Appliquons la méthode d'analyse-synthèse.

• Analyse : Supposons que $f$ est une telle application.

• En posant $x=y=0$, $f(0)=f(0)+f(0)\Rightarrow f(0)=0$.
• En posant $x=y=1$, $f(1)=f(1{)}^2\Rightarrow f(1)\in \{0,1\}$.
• Cas 1 : $f(1)=0$. Alors pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=f(x\cdot 1)=f(x)f(1)=0$. On a la fonction nulle.
• Cas 2 : $f(1)=1$. Par récurrence immédiate, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $f(n)=n$. Puis $f(-n)=-f(n)=-n$, donc $f(z)=z$ pour tout $z\in \mathbb{Z}$. Pour $p\in \mathbb{Z}$ et $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $1=f(1)=f(q\cdot \frac{1}{q})=f(q)f(\frac{1}{q})=qf(\frac{1}{q})\Rightarrow f(\frac{1}{q})=\frac{1}{q}$. Puis $f(\frac{p}{q})=f(p\cdot \frac{1}{q})=pf(\frac{1}{q})=\frac{p}{q}$. Ainsi, $f(q)=q$ pour tout rationnel $q\in \mathbb{Q}$. Soit $x\ge 0$. Alors $f(x)=f((\sqrt{x}{)}^2)=f(\sqrt{x}{)}^2\ge 0$. Ainsi, $f$ préserve le signe. Soient $x,y\in \mathbb{R}$ tels que $x\le y$. Alors $y-x\ge 0\Rightarrow f(y-x)\ge 0\Rightarrow f(y)-f(x)\ge 0\Rightarrow f(x)\le f(y)$. Donc $f$ est croissante. Soit $x\in \mathbb{R}$. Pour $n\in \mathbb{N}$, posons $u_n=\frac{\lfloor 10^{n}x\rfloor }{10^n}$ et $v_n=u_n+10^{-n}$, où $\lfloor t\rfloor$ désigne la partie entière de $t$ (plus grand entier inférieur ou égal à $t$) : ce sont les approximations décimales de $x$ à $10^{-n}$ près, des rationnels vérifiant $u_n\le x\le v_n$, avec $u_n\to x$ et $v_n\to x$. Par croissance de $f$, on a $f(u_n)\le f(x)\le f(v_n)$, c'est-à-dire $u_n\le f(x)\le v_n$. Par passage à la limite : $f(x)=x$.

Les seuls candidats sont l'application nulle et l'identité.

• Synthèse :

• La fonction nulle $x\mapsto 0$ vérifie évidemment les deux équations.
• L'identité $x\mapsto x$ vérifie également $x+y=x+y$ et $xy=xy$.

Les solutions sont exactement la fonction nulle et la fonction identité.