Rationnel plus irrationnel

Stratégie : par l'absurde, en isolant l'irrationnel. Dans les deux premières questions, on suppose la conclusion fausse et l'on en tire que $x$ serait rationnel, ce qui contredit l'hypothèse. Tout repose sur un fait de calcul : $\mathbb{Q}$ est stable par différence et par quotient — une différence de deux rationnels est rationnelle, et un quotient de deux rationnels dont le second est non nul l'est aussi.

1) La somme. Soient $r\in \mathbb{Q}$ et $x$ irrationnel. Supposons par l'absurde que $r+x$ soit rationnel, disons $r+x=s$ avec $s\in \mathbb{Q}$. Alors

$$x=s-r.$$

Écrivons $r=\frac{p}{q}$ et $s=\frac{p^{\prime }}{q^{\prime }}$ avec $p,p^{\prime }\in \mathbb{Z}$ et $q,q^{\prime }\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Alors $x=\frac{p^{\prime }q-p{q}^{\prime }}{q{q}^{\prime }}$, quotient d'un entier par un entier non nul : $x$ serait rationnel. C'est contraire à l'hypothèse. Donc $r+x$ est irrationnel.

2) Le produit. Soit maintenant $r\in \mathbb{Q}$ avec $r\ne 0$. Supposons par l'absurde $rx=s$ avec $s$ rationnel. Comme $r\ne 0$, on peut diviser :

$$x=\frac{s}{r}.$$

⚠️ C'est exactement ici que l'hypothèse $r\ne 0$ sert, et nulle part ailleurs : sans elle, la division est illicite. Et l'énoncé serait faux : pour $r=0$, le produit $rx$ vaut $0$, qui est rationnel. Avec $r=\frac{p}{q}$ non nul, donc $p\ne 0$, et $s=\frac{p^{\prime }}{q^{\prime }}$, on obtient $x=\frac{p^{\prime }q}{q^{\prime }p}$ avec $q^{\prime }p\ne 0$ : $x$ serait rationnel, contradiction. Donc $rx$ est irrationnel.

3) Deux irrationnels : le résultat tombe. La somme de deux irrationnels n'est pas toujours irrationnelle. Le cours établit que $\sqrt{2}$ est irrationnel ; par la question 2 appliquée à $r=-1$, le nombre $-\sqrt{2}$ l'est aussi. Or

$$\sqrt{2}+\left(-\sqrt{2}\right)=0\in \mathbb{Q}.$$

Le produit non plus n'est pas toujours irrationnel :

$$\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2\in \mathbb{Q}.$$

Contrôle numérique. $\sqrt{2}=1,41421356\dots$ ; sa somme avec son opposé donne exactement zéro, et son carré donne exactement deux, deux nombres qui s'écrivent comme quotients d'entiers. Les deux contre-exemples sont donc bien des contre-exemples.

Ce que l'exercice installe. L'ensemble $\mathbb{Q}$ est stable par les quatre opérations ; l'ensemble des irrationnels, lui, ne l'est pour aucune. La différence tient à ce que $\mathbb{Q}$ est défini par une propriété positive — s'écrire comme quotient d'entiers — alors que l'irrationalité est une négation. C'est aussi une leçon de méthode : pour réfuter un énoncé général, un seul exemple suffit, et il est souvent le plus simple qu'on puisse imaginer.