Reconstituer deux entiers d'après leur PGCD et leur PPCM

Stratégie : analyse-synthèse, appuyée sur la relation entre PGCD et PPCM. L'analyse resserre les candidats jusqu'à une liste finie, en exploitant que tout diviseur commun divise le PGCD et que le produit du PGCD par le PPCM vaut le produit des nombres. La synthèse vérifie chaque candidat par le calcul.

Analyse. Soit $(a,b)$ un couple d'entiers strictement positifs tel que $a\wedge b=6$ et $a\vee b=180$.

Premier resserrement : le produit est connu. Le cours donne $(a\wedge b)(a\vee b)=ab$ pour tous $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Donc

$$ab=6\times 180=1080.$$

Deuxième resserrement : chaque nombre est encadré par divisibilité. Comme $6=a\wedge b$ divise $a$, le nombre $a$ est un multiple de $6$ ; comme $a$ divise tout multiple commun, en particulier $a\mid 180$. Donc $a$ est à la fois multiple de $6$ et diviseur de $180$, et il en va de même pour $b$.

Les diviseurs de $180=2^2\times 3^2\times 5$ qui sont multiples de $6$ sont :

$$6,12,18,30,36,60,90,180.$$

Troisième resserrement : le produit vaut $1080$. On apparie ces huit valeurs deux à deux de sorte que le produit fasse $1080$. On trouve $6\times 180$, $12\times 90$, $18\times 60$, $30\times 36$ — et il n'y a pas d'autre appariement, car $1080/6=180$, $1080/12=90$, $1080/18=60$, $1080/30=36$, tandis que $1080/36=30$, $1080/60=18$, $1080/90=12$, $1080/180=6$ redonnent les mêmes paires.

Il ne reste donc, en tenant compte de l'ordre, que huit candidats.

⚠️ Le point délicat est de ne pas s'arrêter là. Les trois conditions retenues sont nécessaires, pas suffisantes : un couple peut vérifier $ab=1080$, avec $a$ et $b$ multiples de $6$ et diviseurs de $180$, sans que le PGCD vaille $6$. La synthèse n'est pas une formalité.

Synthèse. On calcule le PGCD et le PPCM de chaque paire.

$a$	$b$	$a\wedge b$	$a\vee b$
$6$	$180$	$6$	$180$
$12$	$90$	$6$	$180$
$18$	$60$	$6$	$180$
$30$	$36$	$6$	$180$

Détaillons le troisième : $18=2\times 3^2$ et $60=2^2\times 3\times 5$. Le PGCD prend le plus petit exposant de chaque premier, soit $2\times 3=6$ ; le PPCM prend le plus grand, soit $2^2\times 3^2\times 5=180$. ✔ Et le quatrième : $30=2\times 3\times 5$, $36=2^2\times 3^2$, PGCD $=2\times 3=6$, PPCM $=2^2\times 3^2\times 5=180$. ✔

Les quatre paires conviennent toutes, et chacune donne deux couples en échangeant les rôles.

Conclusion. Il y a exactement huit couples :

$$(6,180),(12,90),(18,60),(30,36),(36,30),(60,18),(90,12),(180,6).$$

Contrôle numérique. Un balayage de tous les couples $(a,b)$ jusqu'à $2000$ ne rend que ces huit-là. On vérifie aussi le produit sur chacun : $6\times 180=12\times 90=18\times 60=30\times 36=1080=6\times 180$. ✔

Ce que l'exercice installe. La relation $(a\wedge b)(a\vee b)=ab$ transforme un problème d'arithmétique en un problème fini : dès qu'on connaît le produit et le PGCD, la recherche se réduit à une liste de diviseurs. C'est le schéma qu'on retrouvera à chaque fois qu'on devra « remonter » d'invariants vers les nombres eux-mêmes.