Trois assertions ensemblistes, quantifiées puis niées

Stratégie : traduire d'abord, nier ensuite — jamais l'inverse. On écrit chaque assertion avec des quantificateurs et un connecteur, puis on applique mécaniquement les deux règles du cours : la négation échange $\forall$ et $\exists$ en descendant le long de la formule, et n'agit sur la propriété qu'une fois arrivée au bout.

a) L'inclusion. Dire $A\subset B$, c'est dire que tout élément de $A$ est dans $B$ :

$$A\subset B:\forall x\in E,(x\in A\Rightarrow x\in B).$$

Pour la nier, le $\forall$ devient $\exists$ et l'on nie l'implication — qui, on le sait, se nie en une conjonction :

$$\neg (A\subset B):\exists x\in E,(x\in A\wedge x\notin B).$$

En clair : $A$ n'est pas inclus dans $B$ lorsqu'un élément au moins est dans $A$ sans être dans $B$. C'est un unique témoin qu'il faut exhiber.

b) L'égalité. Deux ensembles sont égaux quand ils ont les mêmes éléments :

$$A=B:\forall x\in E,(x\in A⟺x\in B).$$

L'équivalence est la conjonction de deux implications, donc sa négation est la disjonction des deux négations :

$$A\ne B:\exists x\in E,[(x\in A\wedge x\notin B)\vee (x\in B\wedge x\notin A)].$$

⚠️ Le point délicat est ici. On est tenté d'écrire $\exists x,(x\in A⟺x\notin B)$, ce qui ne veut rien dire de correct. La négation d'une équivalence n'est pas une équivalence : c'est « l'un des deux sans l'autre », un ou exclusif. Autrement dit, $A\ne B$ signifie qu'il existe un élément dans exactement l'un des deux ensembles.

c) La disjonction des ensembles. Dire $A\cap B=\varnothing$, c'est dire qu'aucun élément n'est dans les deux :

$$A\cap B=\varnothing :\forall x\in E,(x\notin A\vee x\notin B),$$

ce qui s'écrit aussi $\forall x\in E,\neg (x\in A\wedge x\in B)$. La négation échange le quantificateur, et De Morgan transforme la disjonction en conjonction :

$$A\cap B\ne \varnothing :\exists x\in E,(x\in A\wedge x\in B).$$

Contrôle sur un exemple. Prenons $E=\{1,2,3\}$, $A=\{1,2\}$ et $B=\{2,3\}$. L'élément $1$ est dans $A$ et pas dans $B$ : la formule du a) est satisfaite, $A$ n'est pas inclus dans $B$. Ce même élément $1$ fait de $A$ et $B$ des ensembles distincts par la formule du b). Enfin l'élément $2$ est dans les deux : $A\cap B\ne \varnothing$, conformément à c). Les trois négations désignent chacune un témoin, et l'on peut le nommer.

Ce que l'exercice installe. Toute la théorie des ensembles est de la logique déguisée : l'inclusion est un $\forall$, la non-inclusion un $\exists$. Cela change la façon de rédiger : pour démontrer une inclusion on commence par « soit $x\in A$ », pour la réfuter on produit un élément et un seul.