Trois inclusions et ce qu'elles mesurent

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Uniquement les définitions du cours : $y\in f(A)$ signifie qu'il existe $x\in A$ tel que $y=f(x)$ ; $x\in f^{-1}(B)$ signifie $f(x)\in B$ (et cette image réciproque a un sens pour toute application, bijective ou non). Toute la difficulté de l'exercice est de ne rien utiliser d'autre.

a) L'image réciproque respecte tout, l'image directe non.

L'image réciproque. Pour $x\in E$ : $$\begin{array}{rl}x\in f^{-1}(B\cap B^{\prime })& ⟺f(x)\in B\cap B^{\prime }⟺(f(x)\in B\text{ et }f(x)\in B^{\prime })\\ & ⟺x\in f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B^{\prime }).\end{array}$$ La même chaîne, avec « ou » à la place de « et », donne la réunion. Pour le complémentaire : $x\in f^{-1}(F\setminus B)⟺f(x)\notin B⟺x\notin f^{-1}(B)⟺x\in E\setminus f^{-1}(B)$. L'appartenance à $f^{-1}(B)$ est une condition sur le seul point $f(x)$ : « et », « ou », « non » la traversent sans obstacle.

L'image directe d'une réunion. Pour $y\in F$ : $$\begin{array}{rl}y\in f(A\cup A^{\prime })& ⟺\exists x\in A\cup A^{\prime },y=f(x)\\ & ⟺(\exists x\in A,y=f(x))\text{ ou }(\exists x\in A^{\prime },y=f(x))\\ & ⟺y\in f(A)\cup f(A^{\prime }).\end{array}$$ Le quantificateur « il existe » se distribue sur le « ou » : un témoin dans la réunion est un témoin dans l'une ou dans l'autre.

L'image directe d'une intersection. Soit $y\in f(A\cap A^{\prime })$ : il existe $x\in A\cap A^{\prime }$ tel que $y=f(x)$. Comme $x\in A$, $y\in f(A)$ ; comme $x\in A^{\prime }$, $y\in f(A^{\prime })$. Donc $y\in f(A)\cap f(A^{\prime })$. L'inclusion inverse est fausse en général, parce que « il existe » ne se distribue pas sur le « et » : $y$ peut avoir un antécédent dans $A$ et un autre dans $A^{\prime }$, sans en avoir un seul qui soit dans les deux.

Exemple d'inclusion stricte. Prenons $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, $A=\{1\}$ et $A^{\prime }=\{-1\}$. Alors $A\cap A^{\prime }=\varnothing$, donc $f(A\cap A^{\prime })=\varnothing$, tandis que $f(A)\cap f(A^{\prime })=\{1\}\cap \{1\}=\{1\}$. L'inclusion est stricte, et l'on voit déjà pourquoi : deux éléments distincts ont la même image.

b) Les deux inclusions. Soit $x\in A$. Alors $f(x)\in f(A)$ par définition de l'image directe, donc $x\in f^{-1}(f(A))$ par définition de l'image réciproque : $A\subset f^{-1}(f(A))$.

Soit $y\in f(f^{-1}(B))$. Il existe $x\in f^{-1}(B)$ tel que $y=f(x)$. Or $x\in f^{-1}(B)$ signifie $f(x)\in B$, donc $y\in B$ : $f(f^{-1}(B))\subset B$.

c) Les trois caractérisations de l'injectivité. On montre (i) $\Rightarrow$ (ii), (ii) $\Rightarrow$ (i), (i) $\Rightarrow$ (iii) et (iii) $\Rightarrow$ (i).

(i) $\Rightarrow$ (ii). Supposons $f$ injective et soit $A\subset E$. Soit $x\in f^{-1}(f(A))$ : alors $f(x)\in f(A)$, donc $f(x)=f(a)$ pour un certain $a\in A$, et l'injectivité donne $x=a\in A$. Ainsi $f^{-1}(f(A))\subset A$, et avec le b), $f^{-1}(f(A))=A$.

(ii) $\Rightarrow$ (i). Supposons l'égalité vraie pour toute partie, et soient $x,x^{\prime }\in E$ tels que $f(x)=f(x^{\prime })$. Appliquons-la au singleton $A=\{x\}$ : $f(x^{\prime })=f(x)\in f(\{x\})$, donc $x^{\prime }\in f^{-1}(f(\{x\}))=\{x\}$, soit $x^{\prime }=x$.

Le point délicat : le choix du singleton. L'hypothèse porte sur toutes les parties ; pour en tirer une information sur deux points, il faut choisir la partie qui contraint le plus, et c'est la plus petite qui contienne $x$ : le singleton. Prendre $A=E$ ne servirait à rien, l'égalité y est toujours vraie.

(i) $\Rightarrow$ (iii). Supposons $f$ injective. Avec le a), il reste à montrer $f(A)\cap f(A^{\prime })\subset f(A\cap A^{\prime })$. Soit $y\in f(A)\cap f(A^{\prime })$ : il existe $a\in A$ et $a^{\prime }\in A^{\prime }$ tels que $y=f(a)=f(a^{\prime })$. Par injectivité $a=a^{\prime }$, donc $a\in A\cap A^{\prime }$ et $y=f(a)\in f(A\cap A^{\prime })$.

(iii) $\Rightarrow$ (i). Supposons l'égalité vraie pour toutes parties, et soient $x,x^{\prime }$ tels que $f(x)=f(x^{\prime })$. Si l'on avait $x\ne x^{\prime }$, les singletons $A=\{x\}$ et $A^{\prime }=\{x^{\prime }\}$ seraient disjoints, d'où $f(A\cap A^{\prime })=f(\varnothing )=\varnothing$, alors que $f(A)\cap f(A^{\prime })=\{f(x)\}\cap \{f(x^{\prime })\}=\{f(x)\}\ne \varnothing$ — contradiction. Donc $x=x^{\prime }$.

d) La caractérisation de la surjectivité. Supposons $f$ surjective et soit $B\subset F$. Soit $y\in B$ : il existe $x\in E$ avec $f(x)=y$ ; comme $f(x)\in B$, on a $x\in f^{-1}(B)$, donc $y=f(x)\in f(f^{-1}(B))$. Avec le b), $f(f^{-1}(B))=B$.

Réciproquement, supposons l'égalité vraie pour toute partie et appliquons-la à $B=F$ : comme $f^{-1}(F)=E$, on obtient $f(E)=F$, ce qui est exactement la surjectivité.

Contrôle. Avec $f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$, ni injective ni surjective : $A=\{1\}$ donne $f^{-1}(f(A))=\{-1,1\}\ne A$ — l'antécédent de trop vient du défaut d'injectivité ; $B=\{-1\}$ donne $f(f^{-1}(B))=\varnothing \ne B$ — le point manquant vient du défaut de surjectivité.

Ce que l'exercice installe. La dissymétrie à retenir du chapitre : l'image réciproque respecte toutes les opérations ensemblistes, l'image directe non — la première est définie par une condition ponctuelle, la seconde par un « il existe ». Les trois inclusions mesurent chacune l'un des deux défauts possibles d'une application, et l'on passe de l'ensembliste au ponctuel par le choix d'un singleton. C'est pour cette raison que les probabilités travaillent avec des images réciproques : l'événement « la variable aléatoire $X$ prend une valeur dans $B$ » est la partie $X^{-1}(B)$, et l'événement « $X\in B$ et $X\in B^{\prime }$ » est, sans précaution, l'intersection des deux.