Deux directions privilégiées, et toutes les puissances

Stratégie : changer de base pour rendre la matrice diagonale, puis élever la matrice diagonale à la puissance $k$. C'est le réflexe annoncé par le cours : pour calculer $A^k$, on cherche $D$ simple semblable à $A$, car $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$.

Les deux directions. Calculons les images des deux vecteurs proposés :

$$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3+1\\ 1+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3-1\\ 1-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

Les deux droites $\mathrm{Vect}(1,1)$ et $\mathrm{Vect}(1,-1)$ sont donc stables, et sur chacune $u_A$ agit comme une homothétie : de rapport $4$ sur la première, de rapport $2$ sur la seconde.

La base adaptée. Les vecteurs $(1,1)$ et $(1,-1)$ ne sont pas proportionnels, donc ils forment une famille libre de deux vecteurs dans ${\mathbb{R}}^2$, qui est de dimension $2$ : c'est une base ${\mathcal{B}}^{\prime }$. La matrice de passage de la base canonique à ${\mathcal{B}}^{\prime }$ a pour colonnes ces deux vecteurs :

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),\det P=-2\ne 0,P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

Dans la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$, les colonnes de la matrice de $u_A$ sont les coordonnées des images, soit $(4,0)$ et $(0,2)$ :

$$D=P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 2\end{array}\right):A\text{ est semblable aˋ }\mathrm{diag}(4,2).$$

⚠️ Le point délicat : $P$ contient les nouveaux vecteurs EN COLONNES, et c'est $P^{-1}AP$, pas $PA{P}^{-1}$. La formule du cours est $A^{\prime }=P^{-1}AP$ avec $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\prime }}$ : le passage convertit les nouvelles coordonnées en anciennes, donc c'est lui qu'on applique en premier, à droite. Ici $P$ est sa propre inverse à un facteur $\frac{1}{2}$ près, ce qui masque l'erreur : sur un exemple moins symétrique, intervertir les deux détruit le résultat.

Les puissances. De $A=PD{P}^{-1}$ on tire, en télescopant les $P^{-1}P$ intérieurs,

$$A^k={\left(PD{P}^{-1}\right)}^k=P{D}^k{P}^{-1}=P\left(\begin{array}{cc}{4}^k& 0\\ 0& 2^k\end{array}\right)P^{-1}.$$

Le produit se calcule :

$$\boxed{A^k=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{4}^k+2^k& 4^k-2^k\\ 4^k-2^k& 4^k+2^k\end{array}\right)(k\ge 1).}$$

Contrôle numérique. Pour $k=1$ : $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 2& 6\end{array}\right)=A$. Pour $k=2$, la formule donne $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}20& 12\\ 12& 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 6\\ 6& 10\end{array}\right)$, et le calcul direct $A^2={\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)}^2$ donne $\left(\begin{array}{cc}9+1& 3+3\\ 3+3& 1+9\end{array}\right)$ : même résultat. Pour $k=3$, la formule donne $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}72& 56\\ 56& 72\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}36& 28\\ 28& 36\end{array}\right)$, et $A^3=A^{2}A=\left(\begin{array}{cc}36& 28\\ 28& 36\end{array}\right)$. L'identité a été vérifiée symboliquement pour tout $k$. ✔

La lecture. Chaque coefficient de $A^k$ est gouverné par $4^k$, c'est-à-dire par le plus grand des deux rapports : quand $k$ grandit, le terme en $2^k$ devient négligeable et $A^k$ ressemble de plus en plus à $\frac{4^k}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$. La direction $(1,1)$ finit par tout absorber — c'est le principe de la méthode de la puissance itérée, en calcul numérique.

Ce que l'exercice installe. Le programme entier de la réduction, sur une matrice $2\times 2$ : chercher les directions que l'endomorphisme se contente d'étirer, vérifier qu'elles forment une base, écrire la matrice diagonale — et empocher toutes les puissances d'un seul coup.