Deux systèmes homogènes, deux conclusions opposées

Stratégie : dans les deux cas, on compte les degrés de liberté. Le théorème du rang donne $\dim \mathrm{Ker}A=p-\mathrm{rg}A$, où $p$ est le nombre d'inconnues — c'est-à-dire le nombre de colonnes. Tout est là.

Premier cas — le système de Cramer.

Le système s'écrit $AX=0$ avec $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ carrée inversible. Alors $\mathrm{rg}A=n$, et

$$\dim \mathrm{Ker}A=n-n=0,$$

donc $\mathrm{Ker}A=\{0\}$ : la seule solution est la solution nulle. On peut aussi le voir sans le théorème du rang, en multipliant à gauche par $A^{-1}$ : de $AX=0$ on tire $X=A^{-1}\times 0=0$.

Second cas — moins d'équations que d'inconnues.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ avec $n<p$ : $n$ équations, $p$ inconnues. Le rang de $A$ est la dimension de $\mathrm{Im}A$, qui est un sous-espace de ${\mathbb{K}}^n$ ; donc

$$\mathrm{rg}A\le n<p.$$

Le théorème du rang donne alors

$$\dim \mathrm{Ker}A=p-\mathrm{rg}A\ge p-n\ge 1.$$

Le noyau contient donc au moins une droite : il existe des solutions non nulles, et même un espace de solutions de dimension au moins $p-n$.

⚠️ Le point délicat : le rang est majoré de DEUX façons. Il est plus petit que le nombre de colonnes — c'est le rang d'une famille de $p$ vecteurs — et plus petit que le nombre de lignes — c'est la dimension d'un sous-espace de ${\mathbb{K}}^n$. C'est la seconde majoration qui sert ici, et c'est celle qu'on oublie, parce qu'on pense spontanément le rang « du côté des colonnes ».

La lecture concrète. Deux équations linéaires homogènes ne peuvent jamais réduire ${\mathbb{R}}^3$ au seul vecteur nul : il reste toujours au moins une droite de solutions. Plus généralement, on ne coince jamais un point avec moins d'équations que d'inconnues — d'où l'intuition, correcte, qu'il faut au moins autant d'équations que d'inconnues pour espérer l'unicité. Attention toutefois : cette condition est nécessaire, pas suffisante — un système de trois équations à trois inconnues peut parfaitement avoir un rang $2$, et donc une droite de solutions.

Contrôle numérique. Prenons $x+y+z=0$ et $x-y+2z=0$ : deux équations, trois inconnues. La matrice $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right)$ est de rang $2$, donc le noyau est de dimension $3-2=1$ : c'est la droite engendrée par $(3,-1,-2)$. Vérification : $3-1-2=0$ et $3+1-4=0$. La théorie annonçait une dimension au moins $3-2=1$, et c'est exactement ce qu'on trouve. ✔

Ce que l'exercice installe. Compter avant de calculer. Le théorème du rang répond à la question « combien de solutions ? » sans en résoudre une seule — et c'est ce comptage, pas le pivot, qui explique pourquoi les systèmes se comportent comme ils le font.