Les lois de Kirchhoff : combien d'équations indépendantes ?

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 12 — Matrices · C. Systèmes linéaires

Énoncé

Un réseau électrique comporte $n \geq 2$ nœuds et $b$ branches. La branche $k$ relie deux nœuds distincts ; on l'oriente du nœud $d (k)$ vers le nœud $a (k)$ . On suppose le réseau connexe : deux nœuds quelconques sont reliés par une suite de branches, chacune ayant un nœud commun avec la suivante. La matrice d'incidence est $M = (m_{i, k}) \in M_{n, b} (R)$ , avec $m_{i, k} = 1$ si $i = d (k)$ , $m_{i, k} = - 1$ si $i = a (k)$ , et $m_{i, k} = 0$ sinon.

1) On note $I = (I_{1}, \dots, I_{b})^{⊤}$ les intensités des branches, comptées dans le sens de l'orientation. Montrer que la loi des nœuds s'écrit $M I = 0$ . Que vaut la somme des coefficients d'une colonne de $M$ ? En déduire que $Im M$ est contenue dans le sous-espace $S = {y \in R^{n} : y_{1} + \dots + y_{n} = 0}$ , justifier que $dim S = n - 1$ (théorème du rang), et conclure que $rg M \leq n - 1$ .

2) On note $V = (V_{1}, \dots, V_{n})^{⊤}$ les potentiels des nœuds. Montrer que $M^{⊤} V$ est le vecteur des tensions de branche $U_{k} = V_{d (k)} - V_{a (k)}$ , puis que $Ker M^{⊤}$ est la droite engendrée par $(1, \dots, 1)^{⊤}$ (utiliser la connexité).

3) On admet l'invariance du rang par transposition (elle est démontrée au problème de cette séance). En déduire que $rg M = n - 1$ ; que les intensités vérifiant la loi des nœuds forment un sous-espace de dimension $b - n + 1$ (le nombre de mailles indépendantes) ; que $n - 1$ quelconques des $n$ équations de nœuds suffisent ; et que le système $M I = J$ , où $J_{i}$ est l'intensité injectée de l'extérieur au nœud $i$ , est compatible si et seulement si $J_{1} + \dots + J_{n} = 0$ .

4) Théorème de Tellegen. Si $I$ vérifie la loi des nœuds et si $U = M^{⊤} V$ pour un certain $V$ , montrer que $k = 1 \sum b U_{k} I_{k} = 0$ : la somme des puissances reçues par toutes les branches est nulle, quels que soient les dipôles qui les composent.

5) Application au pont de Wheatstone : quatre nœuds $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , et six branches orientées $A \to B$ , $B \to C$ , $A \to D$ , $D \to C$ , $B \to D$ (le galvanomètre) et $C \to A$ (le générateur). Écrire $M$ , vérifier par échelonnement que $rg M = 3$ , et donner le nombre de mailles indépendantes.

Corrigé

La stratégie. Traduire les deux lois de Kirchhoff en langage matriciel : la loi des nœuds est un système homogène de matrice $M$ ; la loi des mailles est contenue dans l'existence de potentiels, $U = M^{⊤} V$ . Tout se ramène au rang de $M$ , qui se lit sur la géométrie du réseau.

1) La loi des nœuds. Au nœud $i$ , l'intensité $I_{k}$ quitte le nœud si $i = d (k)$ , y arrive si $i = a (k)$ , et ne le concerne pas sinon. La somme algébrique des intensités qui quittent le nœud $i$ vaut donc $\sum_{k} m_{i, k} I_{k} = (M I)_{i}$ , et la loi des nœuds s'écrit $M I = 0$ . La colonne $k$ contient exactement un $1$ et un $- 1$ : la somme de ses coefficients est nulle. Toutes les colonnes, donc l'image qu'elles engendrent, sont dans $S$ . La dimension de $S$ . $S$ est le noyau de l'application linéaire $σ : R^{n} \to R$ , $y \mapsto y_{1} + \dots + y_{n}$ , de matrice la ligne $(11 \dots 1)$ ; elle n'est pas nulle, puisque $σ (e_{1}) = 1$ , donc son image est $R$ tout entier et son rang vaut $1$ . Le théorème du rang donne $dim S = n - 1$ , et $rg M \leq dim S = n - 1$ .

2) Les potentiels. $(M^{⊤} V)_{k} = \sum_{i} m_{i, k} V_{i} = V_{d (k)} - V_{a (k)} = U_{k}$ . Le noyau de $M^{⊤}$ . Il contient $(1, \dots, 1)^{⊤}$ , toutes les tensions valant alors $1 - 1 = 0$ . Réciproquement, si $M^{⊤} V = 0$ , le potentiel est le même aux deux extrémités de chaque branche ; pour deux nœuds $i$ et $j$ , la connexité fournit une suite $i = i_{0}, i_{1}, \dots, i_{m} = j$ où deux nœuds consécutifs sont reliés par une branche, d'où $V_{i_{0}} = V_{i_{1}} = \dots = V_{i_{m}}$ . Tous les potentiels sont égaux : $Ker M^{⊤} = R (1, \dots, 1)^{⊤}$ . Physiquement : un potentiel n'est défini qu'à une constante près.

Le point délicat. C'est la connexité qui fait de ce noyau une droite. Un réseau en deux morceaux sans branche commune admettrait une constante différente sur chaque morceau : noyau de dimension $2$ , rang $n - 2$ .

3) Les conséquences. Le rang. Le théorème du rang appliqué à $M^{⊤} \in M_{b, n} (R)$ donne $rg M^{⊤} = n - 1$ , et l'invariance par transposition $rg M = n - 1$ . Les intensités admissibles forment $Ker M$ , de dimension $b - (n - 1) = b - n + 1$ : il suffit de connaître $b - n + 1$ intensités bien choisies, une par maille indépendante. Les équations redondantes. Une relation $\sum_{i} c_{i} L_{i} = 0$ entre les lignes de $M$ s'écrit $c^{⊤} M = 0$ , soit $M^{⊤} c = 0$ : d'après le 2), tous les $c_{i}$ sont égaux. Il n'y a donc qu'une relation, à un facteur près — la somme des lignes est nulle —, et $n - 1$ lignes quelconques sont libres, une relation entre elles étant une relation entre les $n$ lignes avec un coefficient nul, donc nulle. $n - 1$ équations de nœuds quelconques suffisent, la dernière en est une conséquence. La compatibilité. Au nœud $i$ , l'intensité qui en sort par les branches est égale à l'intensité $J_{i}$ qui y entre de l'extérieur : c'est $M I = J$ , compatible si et seulement si $J \in Im M$ . Or $Im M \subset S$ et les deux sont de dimension $n - 1$ , donc $Im M = S$ : le système est compatible si et seulement si $J_{1} + \dots + J_{n} = 0$ — la conservation de la charge. Variante sans l'invariance admise. Pour deux nœuds $i \neq = j$ , sommons les colonnes des branches d'un chemin de $i$ à $j$ , chacune affectée du signe $+ 1$ si la branche est parcourue dans son sens et $- 1$ sinon : les nœuds intermédiaires se compensent, et la somme vaut $e_{i} - e_{j}$ . Les $n - 1$ vecteurs $e_{i} - e_{n}$ sont donc dans $Im M$ ; libres, ils forment une famille de $n - 1$ vecteurs libres de $S$ , de dimension $n - 1$ , donc une base de $S$ ; d'où $Im M = S$ et $rg M = n - 1$ .

4) Tellegen. Par transposition d'un produit, $(M^{⊤} V)^{⊤} = V^{⊤} M$ , donc $k = 1 \sum b U_{k} I_{k} = U^{⊤} I = V^{⊤} (M I) = 0.$ Le courant $I_{k}$ traversant la branche de $d (k)$ vers $a (k)$ , et la tension étant $U_{k} = V_{d (k)} - V_{a (k)}$ , c'est la convention récepteur : $U_{k} I_{k}$ est la puissance reçue par la branche $k$ . La somme des puissances reçues est nulle — sans aucune loi de dipôle : seulement la loi des nœuds pour $I$ et l'existence de potentiels pour $U$ .

5) Le pont de Wheatstone. Colonnes dans l'ordre $A \to B$ , $B \to C$ , $A \to D$ , $D \to C$ , $B \to D$ , $C \to A$ ; lignes $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : $M = 1 - 1 00 01 - 1 0 100 - 1 00 - 1 1 010 - 1 - 1 010 .$ $L_{2} \leftarrow L_{2} + L_{1}$ donne $(0, 1, 1, 0, 1, - 1)$ ; puis $L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{2}$ donne $(0, 0, 1, - 1, 1, 0)$ ; enfin $L_{4} \leftarrow L_{4} + L_{3}$ donne la ligne nulle — la relation « somme des lignes nulle ». Trois pivots : $rg M = 3 = n - 1$ , et $b - n + 1 = 6 - 4 + 1 = 3$ mailles indépendantes, par exemple $A \to B \to D \to A$ , $B \to C \to D \to B$ et la maille du générateur $A \to B \to C \to A$ .

Ce que l'exercice installe. Les lois de Kirchhoff sont deux faces d'une même matrice : la loi des nœuds est le noyau de $M$ , les tensions admissibles sont l'image de $M^{⊤}$ . Le rang $n - 1$ explique les deux règles pratiques de l'électrocinétique : écrire $n - 1$ lois des nœuds et $b - n + 1$ lois des mailles.

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