Les matrices de rang 1

Exercice classique · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PTSI), chapitre 12 — Matrices · B. Noyau, image, rang

Énoncé

Montrer qu'une matrice $A \in M_{n, p} (K)$ est de rang $1$ si et seulement s'il existe une colonne $C \in M_{n, 1}$ et une ligne $L \in M_{1, p}$ , non nulles, telles que $A = C L$ .

Corrigé

Si $A = C L$ (avec $C, L \neq = 0$ ) : chaque colonne de $A$ vaut $ℓ_{j} C$ (où $L = (ℓ_{1}, \dots, ℓ_{p})$ ) — toutes proportionnelles à $C$ , l'une au moins non nulle : $Im A = Vect (C)$ , donc $rg A = 1$ .

Si $rg A = 1$ : l'image est une droite $Vect (C)$ ; chaque colonne $C_{j}$ s'écrit $ℓ_{j} C$ , et en rassemblant les coefficients : $A = C (ℓ_{1} \dots ℓ_{p}) = C L$ , avec $L \neq = 0$ (sinon $A = 0$ ).

(Conséquence utile : $A^{2} = C (L C) L = (L C) A$ — toute matrice de rang $1$ vérifie $A^{2} = λ A$ pour un certain scalaire $λ$ , à savoir le nombre $L C$ .)

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