Noyau et image d'une matrice

$L_3=L_1+L_2$ : l'échelonnement donne $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, donc $\mathrm{rg}A=2$.

Image : engendrée par les colonnes ; les deux premières $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ sont libres et $\mathrm{rg}=2$ : elles forment une base de $\mathrm{Im}A$.

Noyau : le système échelonné donne $y=-z$ puis $x=-y-2z=-z$ :

$$\mathrm{Ker}A=\mathrm{Vect}\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)(\dim =3-2=1✓).$$

(Contrôle : $-C_1-C_2+C_3=0$, ce qui confirme à la fois le noyau et la dépendance des colonnes.)