Problème : le rang des lignes égale le rang des colonnes

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PTSI), chapitre 12 — Matrices · B. Noyau, image, rang

Énoncé

Soit $A \in M_{n, p} (K)$ une matrice non nulle, de rang $r$ .

1) Montrer que $rg A = 1$ si et seulement s'il existe une colonne $C \in M_{n, 1} (K)$ et une ligne $L \in M_{1, p} (K)$ , non nulles, telles que $A = C L$ .

2) Soit $(B_{1}, \dots, B_{r})$ une base de $Im A$ . Montrer qu'il existe des lignes $L_{1}, \dots, L_{r} \in M_{1, p} (K)$ , toutes non nulles, telles que $A = k = 1 \sum r B_{k} L_{k}$ : $A$ est somme de $r$ matrices de rang $1$ .

3) Soient $M, N \in M_{n, p} (K)$ . Montrer que $Im (M + N) \subset Im M + Im N$ , puis que $rg (M + N) \leq rg M + rg N$ , et en déduire que $A$ n'est pas somme de moins de $r$ matrices de rang $1$ .

4) En transposant l'écriture du 2), montrer que $Im (A^{⊤})$ est contenue dans $Vect (L_{1}^{⊤}, \dots, L_{r}^{⊤})$ , puis que $rg (A^{⊤}) \leq rg (A)$ . Conclure que $rg (A^{⊤}) = rg (A)$ .

5) Conséquences. a) Montrer que le nombre maximal de lignes linéairement indépendantes de $A$ est $rg A$ . b) En déduire qu'un système homogène $A X = 0$ de $n$ équations à $p$ inconnues équivaut au système formé de $rg A$ de ses équations, linéairement indépendantes, et que ses solutions forment un sous-espace de dimension $p - rg A$ .

6) Soit $n \geq 2$ . Écrire la matrice $(i + j)_{1 \leq i, j \leq n}$ comme somme de deux matrices de rang $1$ , et en déduire son rang. Énoncer le théorème obtenu.

Corrigé

1) Les matrices de rang $1$ . Si $A = C L$ avec $C \neq = 0$ et $L = (ℓ_{1}, \dots, ℓ_{p}) \neq = 0$ : la $j$ -ième colonne de $C L$ est $ℓ_{j} C$ . Toutes les colonnes sont proportionnelles à $C$ , et celle d'un $ℓ_{j} \neq = 0$ est non nulle : $Im A = Vect (C)$ , et $rg A = 1$ . Si $rg A = 1$ : l'image est une droite $Vect (C)$ , $C \neq = 0$ ; chaque colonne s'écrit $C_{j} = ℓ_{j} C$ , et en rassemblant, $A = C (ℓ_{1} \dots ℓ_{p}) = C L$ , avec $L \neq = 0$ puisque $A \neq = 0$ .

2) La décomposition. Chaque colonne $C_{j}$ de $A$ appartient à $Vect (B_{1}, \dots, B_{r})$ : $C_{j} = \sum_{k = 1}^{r} ℓ_{k, j} B_{k}$ . Formons, pour chaque $k$ , la ligne $L_{k} = (ℓ_{k, 1}, \dots, ℓ_{k, p})$ . La $j$ -ième colonne de $B_{k} L_{k}$ est $ℓ_{k, j} B_{k}$ , donc la $j$ -ième colonne de $\sum_{k} B_{k} L_{k}$ est $\sum_{k} ℓ_{k, j} B_{k} = C_{j}$ : $A = k = 1 \sum r B_{k} L_{k} .$ Chaque $L_{k}$ est non nulle : si $L_{k} = 0$ , le vecteur $B_{k}$ n'interviendrait dans aucune colonne, l'image serait contenue dans l'espace engendré par les $r - 1$ autres $B_{j}$ , de dimension au plus $r - 1$ , contre $dim Im A = r$ . D'après le 1), chaque $B_{k} L_{k}$ est de rang $1$ .

Le point délicat. C'est la même matrice lue autrement : au lieu de la décrire colonne par colonne, on la décrit tranche par tranche, une tranche par vecteur de base de l'image. Et la non-nullité des $L_{k}$ compte : sans elle, on aurait peut-être écrit $A$ avec moins de $r$ matrices de rang $1$ — ce que la question suivante interdit.

3) Sous-additivité et minimalité. $(M + N) X = M X + N X$ , donc $Im (M + N) \subset Im M + Im N$ , et la dimension d'une somme de sous-espaces est au plus la somme des dimensions (formule de Grassmann) : $rg (M + N) \leq dim (Im M + Im N) \leq rg M + rg N .$ Par récurrence sur le nombre de termes, si $A = M_{1} + \dots + M_{s}$ avec chaque $M_{i}$ de rang $1$ , alors $r \leq s$ . Il faut au moins $r$ matrices de rang $1$ , et le 2) montre que $r$ suffisent : le rang est le nombre minimal de matrices de rang $1$ dont $A$ est la somme.

4) La transposition. La transposée d'une somme est la somme des transposées, et $(B_{k} L_{k})^{⊤} = L_{k}^{⊤} B_{k}^{⊤}$ : donc $A^{⊤} = \sum_{k = 1}^{r} L_{k}^{⊤} B_{k}^{⊤}$ , où $L_{k}^{⊤}$ est une colonne et $B_{k}^{⊤}$ une ligne. Si $b_{i, k}$ est la $i$ -ième coordonnée de $B_{k}$ , la $i$ -ième colonne de $A^{⊤}$ est $\sum_{k} b_{i, k} L_{k}^{⊤}$ . Toutes les colonnes de $A^{⊤}$ sont des combinaisons de $L_{1}^{⊤}, \dots, L_{r}^{⊤}$ : $Im (A^{⊤}) \subset Vect (L_{1}^{⊤}, \dots, L_{r}^{⊤})$ , de dimension au plus $r$ , et $rg (A^{⊤}) \leq r = rg (A) .$ L'égalité. L'inégalité vaut pour toute matrice non nulle ; appliquée à $A^{⊤}$ , dont la transposée est $A$ , elle donne $rg (A) \leq rg (A^{⊤})$ . Donc $rg (A^{⊤}) = rg (A)$ — et pour la matrice nulle, les deux rangs sont nuls.

5) Conséquences. a) Les lignes de $A$ , transposées, sont les colonnes de $A^{⊤}$ , et une relation entre lignes est une relation entre ces colonnes : le nombre maximal de lignes indépendantes est $rg (A^{⊤}) = rg (A)$ . Le rang des lignes est égal au rang des colonnes. b) Choisissons $r$ lignes indépendantes $L_{i_{1}}, \dots, L_{i_{r}}$ de $A$ . Toute autre ligne $L_{i}$ en est combinaison — sinon on aurait $r + 1$ lignes indépendantes, contre le a). Si $X$ vérifie les $r$ équations retenues, il vérifie donc toutes les autres : $L_{i} X = \sum_{s} c_{s} L_{i_{s}} X = 0$ . Le système $A X = 0$ équivaut aux $r$ équations retenues, qui sont indépendantes, et ses solutions forment $Ker A$ , de dimension $p - r$ par le théorème du rang. C'est ce qu'utilisait l'exercice sur les lois de Kirchhoff : $n$ équations de nœuds, de rang $n - 1$ , dont $n - 1$ suffisent.

6) Un exemple, et le théorème. Avec $U = (1, 2, \dots, n)^{⊤}$ et $1 = (1, \dots, 1)^{⊤}$ , la matrice $U 1^{⊤}$ a pour coefficient $(i, j)$ le nombre $i$ , et $1 U^{⊤}$ le nombre $j$ : $(i + j)_{1 \leq i, j \leq n} = U 1^{⊤} + 1 U^{⊤},$ somme de deux matrices de rang $1$ : son rang vaut au plus $2$ . Il vaut au moins $2$ , ses deux premières colonnes $(2, 3, \dots, n + 1)^{⊤}$ et $(3, 4, \dots, n + 2)^{⊤}$ n'étant pas proportionnelles ( $\frac{2}{3} \neq = \frac{3}{4}$ ). Le rang vaut donc $2$ pour tout $n \geq 2$ , et le noyau est de dimension $n - 2$ . Le théorème se voit sur l'exemple : chaque ligne $(i + 1, \dots, i + n)$ s'écrit $i (1, \dots, 1) + (1, 2, \dots, n)$ , et le rang des lignes vaut $2$ , comme celui des colonnes.

Le théorème obtenu — invariance du rang par transposition. Pour toute matrice $A \in M_{n, p} (K)$ , $rg (A^{⊤}) = rg (A)$ : le nombre maximal de colonnes linéairement indépendantes est égal au nombre maximal de lignes linéairement indépendantes. Ce nombre est aussi le nombre minimal de matrices de rang $1$ dont $A$ est la somme.

Ce que le problème installe. Le résultat admis par le cours est démontré, et avec lui les trois visages du rang : dimension de l'image, lue sur les colonnes ; nombre d'équations indépendantes, lu sur les lignes ; nombre minimal de briques $C L$ — la lecture du calcul numérique, qui compresse une grande matrice en une somme de peu de matrices de rang $1$ . Le geste de la démonstration : transposer une écriture, plutôt que chercher pour les lignes un argument nouveau.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.