Réaction $A ⇌ B$ : la base qui découple

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 12 — Matrices · D. Changements de bases et matrices semblables

Énoncé

Deux espèces $A$ et $B$ se transforment l'une en l'autre par deux réactions d'ordre $1$ : $A \to B$ , de constante de vitesse $k_{1} > 0$ , et $B \to A$ , de constante de vitesse $k_{2} > 0$ . Leurs concentrations vérifient $a^{'} = - k_{1} a + k_{2} b, b^{'} = k_{1} a - k_{2} b, a (0) = a_{0} > 0, b (0) = 0.$ On note $X (t) = (a (t) b (t))$ et $K = (- k_{1} k_{1} k_{2} - k_{2})$ , de sorte que $X^{'} = K X$ , la dérivée d'une colonne de fonctions étant prise coordonnée par coordonnée.

1) Déterminer $Ker K$ , et vérifier que $w = (1, - 1)^{⊤}$ vérifie $K w = - (k_{1} + k_{2}) w$ . En déduire une matrice inversible $P$ telle que $P^{- 1} K P = diag (0, - (k_{1} + k_{2}))$ .

2) On pose $Y = P^{- 1} X = (y_{1}, y_{2})^{⊤}$ . Montrer que $Y^{'} = P^{- 1} K P Y$ , c'est-à-dire $y_{1}^{'} = 0$ et $y_{2}^{'} = - (k_{1} + k_{2}) y_{2}$ : les deux équations sont découplées. Les résoudre.

3) En déduire $a (t)$ et $b (t)$ . Que vaut $a + b$ ? Déterminer les limites $a_{\infty}$ et $b_{\infty}$ , et le rapport $b_{\infty} / a_{\infty}$ .

4) Quelle durée caractérise le retour à l'équilibre ? La comparer à $1/ k_{1}$ et à $1/ k_{2}$ .

Corrigé

La stratégie. Les deux équations sont couplées : $a^{'}$ dépend de $b$ , et $b^{'}$ de $a$ . On cherche une base dans laquelle $u_{K}$ se contente de multiplier chaque vecteur de base par un scalaire ; dans les coordonnées correspondantes, les équations se découplent, et chacune est une équation linéaire du premier ordre à coefficient constant.

1) La bonne base. $K X = 0$ équivaut à $- k_{1} a + k_{2} b = 0$ , la seconde ligne étant l'opposée de la première : $Ker K$ est la droite engendrée par $v = (k_{2}, k_{1})^{⊤}$ . Et $K w = (- k_{1} - k_{2}, k_{1} + k_{2})^{⊤} = - (k_{1} + k_{2}) w$ . $(v, w)$ est une base : si $α v + β w = 0$ , alors $α k_{2} + β = 0$ et $α k_{1} - β = 0$ ; en ajoutant, $α (k_{1} + k_{2}) = 0$ , donc $α = 0$ , puis $β = 0$ . Soit $P = (k_{2} k_{1} 1 - 1)$ la matrice de passage de la base canonique à $(v, w)$ . Dans cette base, $u_{K}$ envoie $v$ sur $0$ et $w$ sur $- (k_{1} + k_{2}) w$ : $P^{- 1} K P = (00 0 - (k_{1} + k_{2})), P^{- 1} = \frac{1}{k _{1} + k _{2}} (1 k_{1} 1 - k_{2}),$ l'inverse venant de la formule des matrices $2 \times 2$ ( $a d - b c = - (k_{1} + k_{2})$ ).

2) Le découplage. Chaque coordonnée de $Y = P^{- 1} X$ est une combinaison à coefficients constants de $a$ et de $b$ ; la dérivation étant linéaire, $Y^{'} = P^{- 1} X^{'}$ . Donc $Y^{'} = P^{- 1} K X = (P^{- 1} K P) (P^{- 1} X) = diag (0, - (k_{1} + k_{2})) Y,$ soit $y_{1}^{'} = 0$ et $y_{2}^{'} = - (k_{1} + k_{2}) y_{2}$ : $y_{1}$ est constante, et $y_{2} (t) = y_{2} (0) e^{- (k_{1} + k_{2}) t}$ . Les valeurs initiales sont $Y (0) = P^{- 1} X (0) = \frac{a _{0}}{k _{1} + k _{2}} (1, k_{1})^{⊤}$ .

3) Les concentrations. Revenons à $X = P Y$ : $a (t) = k_{2} y_{1} + y_{2} (t) = \frac{a _{0}}{k _{1} + k _{2}} (k_{2} + k_{1} e^{- (k_{1} + k_{2}) t}),$ $b (t) = k_{1} y_{1} - y_{2} (t) = \frac{a _{0} k _{1}}{k _{1} + k _{2}} (1 - e^{- (k_{1} + k_{2}) t}) .$ Contrôle : $a (0) = a_{0}$ , $b (0) = 0$ , et $a + b = a_{0}$ pour tout $t$ — ce que donnait aussi la somme des deux équations, $(a + b)^{'} = 0$ : c'est la conservation de la matière. Quand $t$ tend vers $+ \infty$ , l'exponentielle tend vers $0$ : $a_{\infty} = \frac{a _{0} k _{2}}{k _{1} + k _{2}}, b_{\infty} = \frac{a _{0} k _{1}}{k _{1} + k _{2}}, \frac{b _{\infty}}{a _{\infty}} = \frac{k _{1}}{k _{2}} .$ À l'équilibre, les deux réactions se compensent, $k_{1} a_{\infty} = k_{2} b_{\infty}$ : le rapport des concentrations est la constante d'équilibre, rapport des constantes de vitesse.

Le point délicat. Les systèmes différentiels ne sont pas un objet du cours de PTSI : l'énoncé a défini lui-même la dérivée d'une colonne de fonctions, coordonnée par coordonnée, et l'on n'a utilisé aucune théorie des systèmes différentiels : seulement la linéarité de la dérivation, puis deux équations scalaires du premier ordre. Et l'unicité est acquise : toute solution fournit, par $Y = P^{- 1} X$ , une solution des équations découplées, dont chacune a une unique solution de valeur initiale donnée ; donc $X = P Y$ est déterminé.

4) Le temps de relaxation. L'écart à l'équilibre, $a (t) - a_{\infty} = \frac{a _{0} k _{1}}{k _{1} + k _{2}} e^{- (k_{1} + k_{2}) t}$ , décroît avec la constante de temps $τ = \frac{1}{k _{1} + k _{2}}$ , plus courte que $1/ k_{1}$ et que $1/ k_{2}$ : les deux réactions travaillent dans le même sens pour ramener le système à l'équilibre. L'écart est divisé par deux en $τ ln 2$ .

Ce que l'exercice installe. Rendre une matrice diagonale, c'est découpler des équations. Les deux vecteurs de la bonne base ont un sens physique : $v$ est l'état d'équilibre, qui ne bouge pas ; $w$ est la direction de l'écart à l'équilibre, qui s'amortit. La même idée sépare deux oscillateurs couplés en deux modes indépendants.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.

Réaction A⇌B : la base qui découple

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Réaction $A ⇌ B$ : la base qui découple